Вопрос11

Данному неравенству удовлетворяют точки комплексной плоскости, лежащие внутри круга радиуса с центром в точке .Величина называется радиусом

Числовые ряды. Ряд, членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом в комплексной плоскости.

Опр. 2: Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из двух рядом.

Степенные ряды Степенным рядом в комплексной плоскости называется ряд вида : Совокупность всех значений параметров , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд сходится при значении параметра , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию . 2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих условию . Из теоремы Абеля следует существование числа , такого, что при всех значениях , удовлетворяющих неравенству , степенной ряд абсолютно сходится.

сходимости степенного ряда. ;

Вопрос12

Ряд Тейлора. Теорема : Всякая аналитическая в круге функция может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд.

Коэффициенты этого степенного ряда определяются следующими формулами Доказательство: Возьмём произвольную окружность радиуса с центром в точке . Внутри этой окружности произвольным образом выберем точку . И построим окружность с радиусом и центром в точке Так как функция является аналитической в кольце , а также является аналитической на границе этой малой окружности , то значение функции можно найти по теореме Коши для аналитической функции. Где - произвольная точка, лежащая на окружности радиуса .

Вопрос13

Ряд Лорана. Теорема 3: Любая аналитическая в кольце функцияможет быть разложена внутри этого же кольца в ряд Лорана: Ряд Лорана для любой функции состоит из двух частей, поэтому часто подразделяют на двечасти:1)часть с положительными степенями– правильная часть; 2)часть с отрицательными степенями – главная часть. В правильной части ряда Лорана любой ряд сходится к аналитической функции внутри круга .В главной части ряда Лорана сходится к аналитической функции внутри круга .

Вопрос14

Особые точки и их классификация. нулём порядка аналитической функции называется такая точка , для которой: ; ; … ; . Порядок нуля-порядок старшей производной, равной нулю.

Точка называется изолированной особой точкой, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой однозначная аналитическая функция определена всюду, за исключением, может быть, самой точки .

В терминах ряда Лорана	В терминах пределов
I. Устранимая особая точка
Если ряд Лорана не имеет главной части, то эта точка называется устранимой особой точкой:
II. Полюс порядка
Если ряд Лорана содержит конечное число слагаемых с отрицательными степенями, то точка называется полюсом. Порядок полюса определяется количеством слагаемых с отрицательными степенями:	Порядком полюса функции в точке называется порядок нуля для функции в этой же точке .
III. Существенно-особая точка
Если ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями, то точка называется существенно-особой точкой.