Вопрос7

Предел интегральной суммы , если он существует, называется интегралом от комплексной функции по кривой . Т. О. вычисление интеграла от ФКП свелось к вычислению двух криволинейных интегралов рода от функции действительных переменных. Если плоская кривая задана параметрическим уравнением, то функция называется комплексным параметрическим уравнением и интеграл от неё преобразуется в следующую формулу: Свойства интеграла ФКП

Вопрос8

Опр. 1: Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости обязательно целиком принадлежит области . В противном случае область называется многосвязной. Теорема Коши для односвязной области: Если функция аналитична в односвязной области и -некоторый замкнутый контур, целиком лежащий в области , то . Так как аналитична в области , то для нее будет выполняться условие Коши-Римана. Доказательство: Формула Грина:

Требование односвязной области является очень существенным, то есть интеграл по замкнутому контуру равен 0 только при односвязной области.

Теорема Коши для многосвязной области: Если функция аналитична в многосвязной области , ограниченной из вне контуром , а внутри контурами , то интеграл

, где – полная граница области , то есть ………..

Вопрос9

Следствие 1:

Если функция аналитична на односвязной области , то для любых кусочно-гладких кривых, целиком принадлежащих этой области и имеющих общее начало и конец, интегралы имеют одно и тоже значение, т.е. интеграл не зависит от вида кривой, а зависит только от начальных и конечных точек интегрирования.

Доказательство: Пусть некоторый замкнутый контур, целиком лежащий в области .

Этот контур фактически состоит из двух контуров и .

Так как функция является аналитической в области , то для неё будет справедлива теорема Коши для односвязной области. Следствие 2: Если аналитична в области , содержащей внутри себя и , то по следствию 1 интеграл зависит только от самой функции, начальной и конечной точек. Поэтому для любой аналитической функции будет справедлива формула Ньютона-Лейбница. То есть интегралы от элементарных функций комплексной переменной выполняются точно также, как и интегралы от функций действительной переменной.

Неопределенный интеграл для функции ф от х это совокупность всех первообразных данной функции. Если функция определена и непрерывна на промежутке (а,в) и Ф от х ее первообразная то интегр ф(х) дз=Ф(х)+С. Пусть ф(х) задано на интервале (а.в) если найдеться такая функция Ф(х) что при всех имеет место Фштрих(х)=ф(х) то Ф(х) наз первообразной

Вопрос9

Теорема:Пусть функция аналитическая в области , тогда для любой фиксированной точке , принадлежащей области справедлива формула Коши: Где – замкнутый контур, ограничивающий область . Доказательство: Так как функция аналитична на всей области , кроме точки , то выколем данную точку из области , окружив её окружностью с радиусом , тогда функция будет аналитична в двухсвязной области и согласно следствию из теоремы Коши. Интегрирование будем вести одинаково в положительном направлении. Вычислить невозможно, поэтому оценим его по свойству интегралов , тогда соответственно и значение I интеграла будет стремиться к 0. Таким образом формулу Коши можно записать в виде: