Тема 2. Цілочисельне програмування

Цілочисельне програмування – це розділ математичного програмування, який використовує змінниі лише у цілочисельному вигляді в тому числі і в окремому випадку, коли змінні є бінарними (0; 1). Цілочисельне програмування є розділом більш загального дискретного програмування, яке має справу у більш широкому значенні з неподільностями, комбінаторними задачами, множинами, діапазонами значень. Наприклад, у роботі розглянуті питання дискретної оптимізації у САПР. З математичної точки зору задачі цілочисельного програмування можуть бути лінійними або нелінійними. Ми будемо розглядати лінійні задачі, які мають стандартну форму:

(2.1)

Таким чином, зовнішній вигляд задачі лінійного цілочисельного програмування практично не відрізняється від звичайної задачі ЛП, за виключенням того, що на рішення ЛП накладається додаткове обмеження: визначення лише цілих значень змінних. Припустимо, що ми розв’язали задачу ЛП згідно з моделлю (рис. 1.1) (але без вимоги цілозначності) і отримали область рішень ABCD (рис. 1.1). Цілі значення змінних x_j на рис. 1.1 позначені точками. Ці точки і є метою визначення задач цілочисельного програмування. В результаті задача цілочисельного програмування має область рішень OKLMPN, тобто внутрішню відносно області OABCD звичайної задачі ЛП (на рис. 1.1 область ЛЦП заштрихована).

Задачі лінійного цілочисельного програмування (ЛЦП) вирішують проблеми із змінними, які визначають: кількість одиниць неподільної продукції; розподіл завдань між підприємствами; планування роботи при різних номенклатурах продукції та інш. Встановлено, що округленням лінійного рішення неможливо отримати цілочисельне рішення. Методи рішення задач цілочисельного програмування можна поділити на дві групи:

1. Метод відсічень (відсікаючих площин; метод Гоморі);

2. Комбінаторні методи (метод гілок та меж; аддитивний метод з бінарними змінними).

Метод відсікаючих площин існує у двох варіантах:

1. Перший алгоритм Гоморі для рішення цілком цілочисельних задач;

2. Другий алгоритм Гоморі для рішення частково цілочисельних задач.

Вони відрізняються способом формування відсічення. Ідея розрахунків методом відсікаючих площин для рішення цілком цілочисельних задач (1-ий метод Гоморі) полягає у такому підході:

1. Лінійна задача (9.1) розв’язується без врахування цілочисленності x_j будь-яким симплекс-методом (наприклад, прямим симплекс-методом). В результаті отримують оптимальний опорний план, який має канонічний вигляд:

(2.2)

2) Якщо серед рівнянь-обмежень (2.2) є дробові значення базисних змінних x_i = b_i, то обирають серед них таке значення, яке має найбільшу дрібну частину. Це рівняння записують і у вигляді:

і перетворюють їх у додаткову  нерівність

      (2.3)                                                             

Правила обрання чисел :

1. Якщо дробове число a_ij або b_i є додатнім числом, то [a_ij] та [b_i] є цілими додатніми числами і дорівнюють цілій частині числа a_ij або b_i . Наприклад:

a_jj=2,3; [a_ij]=2; a_ij=a_ij – [a_ij]=2,3 – 2=0,3

b_i=1,25; [b_i]=1; b_i=b_i – [b_i]=1,25 – 1=0,25

2. Якщо дробове число a_ij або b_i є від’ємним числом, то [ a_ij] та [ b_i ] є від’ємним цілим числом, яке по абсолютному значенню на “1” більше за абсолютне значення цілої частини числа a_ij або b_i . Наприклад:  

 

 3. Додаткова нерівність (2.3) має лише додатні коефіцієнти. Вона множенням на “-1” спочатку приводиться до вигляду, який повинна мати нерівність у симплекс-методі згідно із стандартною формою:

а потім за допомогою додаткової змінної x_n+1 перетворюється у рівняння:

яке додається до оптимального опорного плану-системи (2.2) і сумісно з ним створює псевдоплан (він так називається, бо має одне від’ємне значення .

4. Цей псевдоплан розв’язується двоїстим симплекс-методом. В результаті отримують новий оптимальний опорний план (з додатніми значеннями b_i та a_0j). Якщо в новому оптимальному опорному плані існують базисні змінні x_j = b_i, які мають дробові значення, то знов додають одне додаткове обмеження, і процес розрахунків повторюється до отримання цілочисельних значень базисних змінних.

Ознакою відсутності рішення задачі є наявність в таблиці хоча б одного рядка з цілими величинами a_ij та вільним дробовим членом b_i, що вказує на відсутність рішення у цілих числах (наприклад, 5x₁ + 10x₂ – 6x₃=7/3). На відміну від задач ЛП, задачі ЛПЦ вимагають значно більшого об’єму обчислень навіть при малих і= m та j = n. Як показала практика, жоден з варіантів методу відсікаючих площин не забезпечує високої ефективності.