Постановка и цели решения задачи.

Предприятие выпускает 14 видов колбасных изделий. По принципу технологической однородности продукция может быть сгруппирована в пять крупных групп: варенные колбасы, полукопченные, твердокопченые, сосиски – сардельки, копчености.

У предприятия для производства этих видов продукции имеется 5 видов ведущего оборудования: куттермошалки (3 шт.), шприцы (5 шт.), камеры обжарочные (9 шт.), камеры варочные (11 шт.), камеры коптильные (21 шт.)

Для каждого вида продукции установлены нормы времени выполнения соответствующих операций (в час на одну тонну).

Продолжительность планового периода 261 день.

Необходимо определить потенциально возможный объем выпуска колбасных изделий при известном парке ведущего оборудования, установленном режиме работы предприятия и заданной структуре выпуска.

Расчеты эффективного времени работы оборудования

B1=n*K*s*t*d, где

n – количество установленного оборудования (табл. 1.2);

k – коэффициент использования оборудования(табл. 1.2);

s – режим работы оборудования (машино-технологического отделения – 2 смены, термического – 3 смены);

t - продолжительность смены (8 часов);

d – число рабочих дней планового периода (приложение 1).

Куттеромешалки В1=3*0,87*2*8*261=10899,36

Шприцы В2=5*0,87*2*8*261=18165,6

Камеры обжарочные В3=9*0,87*3*8*261=49047,12

Камеры варочные В4=11*0,87*3*8*261=59946,48

Камеры коптильные В5=21*0,87*3*8*261=114443,28

Формализованная модель оптимизации объема выпуска продукции в рублях:

n

Z = ∑ c_j * x_j max

j=1

n

∑ a_ij * x_j <= В_i

j=1

x_j >= 0

x_j >=/<= А_j

x_jd >=/<= А_d

где

i – индекс вида оборудования, используемого в производстве;

j – индекс вида готовой продукции, произведенный на предприятие;

d – индекс номенклатурной группы готовой продукции;

a_ij – норма затрат времени оборудования вида i по производству единицы j вида продукции;

x_j – необходимый объем выпуска j вида продукции (тонн);

х_dj – сумма готового изделия вида j, входящего в номенклатурную группу;

c_j – цена за производство 1 тонны j вида продукции;

А_j –необходимое количество готовой продукции вида j;

А_d –необходимое количество готовой продукции в номенклатурной группе вида d;

В_i – эффективный фонд времени работы оборудования вида i;

Математическая модель

Z=500x₁+600x₂+650x₃+770х₄+860х₅+540х₆+370х₇+220х₈+430х₉+

+230х₁₀+880х₁₁+440x₁₂+340x₁₃+390x₁₄ → max

0,8 x₁+ 0,8 x₂+ 0,9 x₃+ 0,9 x₄+ 0,9 x₅+ 1,0 x₆+ 0,8 x₇+ 0,8 x₈ ≤ 10899,36

1,4 x₁ +13,0 x₂ +12,2 x₃ +4,6 x₄ +5,3 x₅ +10,6 x₆ +9,3 x₇ +9,3 x₈ ≤ 18165,6

8,3 x₁ +11,0 x₂ +6,7 x₃ +5,1 x₄ +14,2 x₅ +5,1 x₆ +3,3 x₇ +4,7 x₈ ≤ 49047,12

8,3 x₁ +16,5 x₂ +6,7 x₃ +5,1 x₄ +21,3 x₅ +2,0 x₇ +3,4 x₈ +30 x₉ +30 x₁₀ +20 x₁₁ +25 x₁₃ +35 x₁₄ ≤ 59946,48

80 x₃ +92,4 x₄ +340,3 x₆ +20 x₁₀ +360,0 x₁₂ +20,0 x₁₃ ≤ 114443,28

x₁ ≥100

x₁₁ ≥10

X₁₄ 20

х_1-14 ≥ 0

х₁ + х₂ ≥ 600

х₃+ х₄ + х₅ ≤ 130

x₆ ≤ 300

x₇+х₈ ≥220

х₉+х₁₀+х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄≤ 260

Формализованная модель оптимизации объема выпуска продукции в тоннах:

n

Z= ∑ x_j max

j=1

n

∑ a_ij * x_j <= В_i

_j=1

x_j >= 0

x_j >=/<= А_j

x_jd >=/<= А_d , где:

i – индекс вида оборудования, используемого в производстве;

j – индекс вида готовой продукции, произведенный на предприятие;

d – индекс номенклатурной группы готовой продукции;

a_ij – норма затрат времени оборудования вида i по производству единицы j вида продукции;

x_j – необходимый объем выпуска j вида продукции (тонн);

х_dj – сумма готового изделия вида j, входящего в номенклатурную группу;

А_j –необходимое количество готовой продукции вида j;

А_d –необходимое количество готовой продукции в номенклатурной группе вида d;

В_i – эффективный фонд времени работы оборудования вида I;

Математическая модель оптимизации объема выпуска продукции

Z = x₁ + x₂ + x₃ + …+ x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ => max

0,8 x₁+ 0,8 x₂+ 0,9 x₃+ 0,9 x₄+ 0,9 x₅+ 1,0 x₆+ 0,8 x₇+ 0,8 x₈ ≤ 10899,36

1,4 x₁ +13,0 x₂ +12,2 x₃ +4,6 x₄ +5,3 x₅ +10,6 x₆ +9,3 x₇ +9,3 x₈ ≤ 18165,6

8,3 x₁ +11,0 x₂ +6,7 x₃ +5,1 x₄ +14,2 x₅ +5,1 x₆ +3,3 x₇ +4,7 x₈ ≤ 49047,12

8,3 x₁ +16,5 x₂ +6,7 x₃ +5,1 x₄ +21,3 x₅ +2,0 x₇ +3,4 x₈ +30 x₉ +30 x₁₀ +20 x₁₁ +25 x₁₃ +35 x₁₄ ≤ 59946,48

80 x₃ +92,4 x₄ +340,3 x₆ +20 x₁₀ +360,0 x₁₂ +20,0 x₁₃ ≤ 114443,28

x₁ ≥100

x₁₁ ≥10

X₁₄ 20

х_1-14 ≥ 0

х₁ + х₂ ≥ 600

х₃+ х₄ + х₅ ≤ 130

x₆ ≤ 300

x₇+х₈ ≥220

х₉+х₁₀+х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄≤ 260

Формализованная модель оптимизации загрузки оборудования:

n

Z = ∑ c_j * x_j max

j=1

n

∑ a_ij * x_j <= В_i

j=1

x_j >= 0

x_j >=/<= А_j

x_jd >=/<= А_d

где

i – индекс вида оборудования, используемого в производстве;

j – индекс вида готовой продукции, произведенный на предприятие;

d – индекс номенклатурной группы готовой продукции;

a_ij – норма затрат времени оборудования вида i по производству единицы j вида продукции;

x_j – необходимый объем выпуска j вида продукции (тонн);

х_dj – сумма готового изделия вида j, входящего в номенклатурную группу;

c_j – затраты времени на изготовление единицы продукции вида j всеми видами ведущего оборудования;

А_j –необходимое количество готовой продукции вида j;

А_d –необходимое количество готовой продукции в номенклатурной группе вида d;

В_i – эффективный фонд времени работы оборудования вида i;

Математическая модель

Z=18,8x₁+41,3x₂+106,5x₃+108,1х₄+212,1х₅+375х₆+15,4х₇+18,2х₈+30х₉+50х₁₀+

+20х₁₁+360x₁₂+45x₁₃+35x₁₄ → max

0,8 x₁+ 0,8 x₂+ 0,9 x₃+ 0,9 x₄+ 0,9 x₅+ 1,0 x₆+ 0,8 x₇+ 0,8 x₈ ≤ 10899,36

1,4 x₁ +13,0 x₂ +12,2 x₃ +4,6 x₄ +5,3 x₅ +10,6 x₆ +9,3 x₇ +9,3 x₈ ≤ 18165,6

8,3 x₁ +11,0 x₂ +6,7 x₃ +5,1 x₄ +14,2 x₅ +5,1 x₆ +3,3 x₇ +4,7 x₈ ≤ 49047,12

8,3 x₁ +16,5 x₂ +6,7 x₃ +5,1 x₄ +21,3 x₅ +2,0 x₇ +3,4 x₈ +30 x₉ +30 x₁₀ +20 x₁₁ +25 x₁₃ +35 x₁₄ ≤ 59946,48

80 x₃ +92,4 x₄ +340,3 x₆ +20 x₁₀ +360,0 x₁₂ +20,0 x₁₃ ≤ 114443,28

x₁ ≥100

x₁₁ ≥10

X₁₄ 20

х_1-14 ≥ 0

х₁ + х₂ ≥ 600

х₃+ х₄ + х₅ ≤ 130

x₆ ≤ 300

x₇+х₈ ≥220

х₉+х₁₀+х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄≤ 260

Для решения задач линейного программирования существует универсальный метод – симплекс-метод, который может быть, в частности, реализован в EXCEL с помощью надстройки «Поиск решения».

Задача на максимум выпуска продукции.

Шаг 1. Открыть «Сервис» → «Поиск решения» (Надстройки → Установить)

Шаг 2. В «Поиск решения» устанавливаем целевую ячейку. Авторизуем функцию формы → Вставка → Функция → Математические → СУММ → установить курсор в целевой ячейке S6 и ввести в число1 D5. В число1 устанавливаем значения Q5 → ок → S6 =0. Установить курсор в ячейке для ограничений и на панели инструментов вызываем функцию копировать → R12-R25 значения равны 0.

Шаг 3. «Поиск решения» → устанавливаем целевую ячейку (S6), указываем адрес, изменяемые ячейки (D5-Q5). Вводим ограничения и делаем ссылку на искомые ячейки по ограничению оборудования, ограничения по номеклатурным группам, ограничения по отдельным видам.

Ограничения:

$R$11:$R$15≤ $T$11:$T$15

$R$17 ≥ $T$17

$R$18 ≤ $T$18

$R$19 ≤ $T$19

$R$20 ≥ $T$20

$R$21 ≤ $T$21

$R$22 ≥ $T$22

$R$23 ≥ $T$23

$R$24 ≤ $T$24

«Сервис» → «Поиск решения» → «Параметры»→ Ставим галочки: Линейная модель, неотрицательное значение → ОК.

Выполнить (результаты поиска решения) → выделяем два вида отчета: по результатам и устойчивости→ получаем результат решения.

Важное значение имеет не только решение с целью получения вычисленных значений переменных, но и анализ полученных результатов и устойчивость найденного решения к возможным изменениям внутренних и внешних условий.

Основные результаты решения задачи содержатся в двух отчетах: отчете по результатам и отчете по устойчивости.

В отчет по результатам, состоящий из трех небольших таблиц, включаются конечные значения целевой функции и переменных, дополнительные сведения об ограничениях.

В отчете по устойчивости содержатся сведения о чувствительности полученного решения к малым изменениям коэффициентов целевой функции или в формулах ограничений.

Выводы по отчету по результатам. Оптимальным планом предусматривается выпуск только 4 видов изделий: 1-го, 4-го, 7-го и 11-го вида в количестве 5401,67; 130; 1075,83 и 260 единиц соответственно. При таком плане общая стоимость выпущенной продукции будет максимальной и составит 3427794,08 тыс.руб.

Выводы по отчету по устойчивости. Табличка «Изменяемые ячейки» содержит помимо результата решения задачи (колонка «Результирующее значение») нормированную стоимость единицы каждого вида изделия. Нормированная стоимость показывает, на какую величину изменится значение критерия оптимальности при увеличении объема выпуска данной продукции на одну единицу. Поскольку критерий (целевая функция) в данной задаче на максимум - то отрицательное значение теневой цены характеризует невыгодность продукции; если же теневая цена положительна ­ то соответствующая продукция выгодна. Невыгодной к выпуску является 2-ой, 3-й, 5-й, 6-й и 8-й вид изделия.

Во второй части отчета по устойчивости содержится информация, относящаяся к ограничениям. В колонке «Результирующее значение» повторяется объемы использованных ресурсов. В следующей колонке приводится значение теневой цены (двойственной оценки) каждого из ресурсов. Теневая цена показывает ценность дополнительной единицы ресурса и показывает, на сколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении количества данного ресурса на одну единицу. Чем больше значение теневой цены, тем более дефицитен ресурс, тем больше возрастает критерий оптимальности при увеличении этого ресурса на одну единицу. Теневая цена рассчитывается только для дефицитных видов ресурсов. Дефицитные ресурсы используются в оптимальном плане полностью. В нашей задаче это шприцы и обжарочные камеры имеют отличные от нуля теневые цены 0,0689 и 0,109 ­ они используются полностью и поэтому являются дефицитными.