Закон распределения Пуассона.

При тех же условиях, что в предыдущем пункте, таблица вида

Х	0	1	…	n-1	n
p	P0	P1	…	pn-1	pn

где вероятности p_х определяются по формуле Пуассона , определяет закон распределения Пуассона.

Здесь - интенсивность. В зависимости от интенсивности можно построить разные законы распределения Пуассона.

Полиномиальное распределение

Производятся n испытаний (опытов), каждое из которых может иметь k исходов (А_1, А_{2, …,} А_k – последовательность событий с вероятностями p₁, p₂, …, p_k).

Вероятность того, что событие А₁ наступит m ₁ раз, событие А₂ - m ₂ раз, …, событие А_k - m _k раз, можно вычислить, используя следующую формулу:

Р_n(m ₁, m ₂,…, m _n)= .

Формула определяет полиномиальный закон распределения вероятностей.

Формула Бернулли есть частный случай полиномиального распределения.

Пример.

Бросание монеты n=10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза.

Пусть А – выпадение герба, - выпадение цифры.

Тогда Р(А)=p=1/2, Р( )=1-p=q=1-1/2=1/2.

По формуле Бернулли:

.

По формуле полиномиального распределения:

.

Равномерный закон распределения случайной величины.

Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке , если она имеет плотность вероятности вида:

С, если

и

0, если .

Нормальный закон распределения случайной величины (закон Гаусса).

Случайная величина распределена нормально, если она имеет функцию плотности вероятности вида:

.

Нормальный закон широко используется в практической деятельности в силу теоремы, в соответствии с которой сумма случайных величин при увеличении числа слагаемых распределена нормально даже в том случае, если слагаемые имеют распределение, отличное от нормального.

В практической деятельности на результат воздействует множество факторов.

Стандартная форма нормального закона распределения.

Случайная величина Х приводится к безразмерному виду путём её нормировки на величину стандартного отклонения . Помимо этого, желательно сместить математическое ожидание в начало координат.

Переходят к случайной величине Z следующим образом:

При этом справедливо:

М[Z]= 0, D[Z]=1

Тогда стандартная форма нормального закона распределения -

1. Плотность вероятности симметрична относительно оси ординат.

2. .

3. F(x)=

- переменная интегрирования.

Для вычислительных целей используется функция Лапласа

.

Функция Лапласа связана с функцией распределения следующим образом:

F(z)=0,5+

=

=

Распределение «хи-квадрат».

Рассматриваются случайные величины , , …, .

Случайная величина называется хи-квадрат.

При этом случайные величины , , …, распределены нормально с параметрами N (0, 1).

Закон распределения случайной величины называется -распределением с k степенями свободы.

С увеличением k закон распределения случайной величины стремится к нормальному распределению.

Закон называется предельным.

t-распределение Стьюдента.

Имеются две случайные величины: Х и Y. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами N (0, 1). Случайная величина Y распределена по закону « хи-квадрат».

Закон распределения случайной величины, в соответствии с которым распределена величина , называется законом t-распределения Стьюдента с k степенями свободы.

В пределе этот закон стремится к нормальному, то есть с увеличением k t-распределение Стьюдента приближается к нормальному.

F-распределение Фишера.

Пусть Х₁ и Х₂ - две случайные величины, которые распределены в соответствии с -распределением.

- случайная величина распределена по закону F-распределения Фишера с k₁ и k₂ степенями свободы.