Пример 1.

Пусть необходимо извлечь выборку объёма n=25 из нормально распределённой случайной величины x с математическим ожиданием m_x=10 и дисперсией =4. Хотим определить интервал, в котором с вероятностью 95% заключено выборочное среднее значение .

Очевидно, что выборочное среднее значение представляет собой одно значение, выбранное из нормально распределённой случайной величины x со средним значением m =10 и = .

Для того чтобы найти интервал, в котором с вероятностью 95% заключено выборочное среднее значение , зададимся границами этого интервала такими, что вероятность попадания слева от интервала составляет 2,5% и справа - 2,5%, то есть вероятность нахождения случайной величины x вне интервала равна 5%.

Из формулы P( > )= можно найти вероятность попадания:

P( )=1-

P( )=1-

Из таблиц нормального распределения для =0,05 находим .

Таким образом, границами будут значения:

Поэтому с вероятностью, равной 95%, выборочное среднее значение будет находиться в пределах от 9,216 до 10,785.

Рассмотрим случай, когда случайная величина x распределена по закону, отличному от нормального. Из центральной предметной теоремы вытекает, что с увеличением объёма выборки n выборочное распределение среднего значения выборки приближается к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины x. С точки зрения практики, предположение о нормальности выборочного распределения становится приемлемым во многих случаях при n=4 и хорошо оправдывается при n=10 и более. Следовательно, при достаточно больших объёмах выборки в качестве выборочного распределения среднего значения выборки для любой случайной величины x можно использовать выражение (*), независимо от закона распределения этой случайной величины.

2.Распределение выборочного среднего при неизвестной дисперсии.

Рассмотрим n – объём выборки независимых наблюдений случайной величины x.

случайная величина x распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m _x и неизвестной дисперсией . Укажем распределение выборочного среднего.

Эта величина подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы. Отсюда вытекает следующее вероятностное утверждение относительно до извлечения выборки.

P( > )= (**).

Значение - это квантиль распределения Стьюдента уровня .

Пример 2.

Необходимо извлечь выборку объёмом n=25 из распределения Стьюдента случайной величины x с математическим ожиданием m_x=10 и неизвестной дисперсией , определить интервал, в который с вероятностью 95% будет заключено выборочное среднее значение .

Из выражения (**) следует, что вероятность события

P( )=1-

=24

Из таблиц распределения Стьюдента для =0,05 находим .

Для интервала границы будут следующими:

10-0,413∙S< 10+0,413∙S.

Точное значение ширины интервала для можно получить после извлечения выборки и определения S².

3.Распределение выборочной дисперсии.

Рассмотрим дисперсию выборки объёма n независимых наблюдений случайной величины x.

S²= .

Пусть случайная величина x имеет нормальное распределение со средним значением и дисперсией .

Укажем распределение выборочной дисперсии S². Для этого введём обозначение:

,

где - случайная величина, распределённая по закону - распределения с степенями свободы.

Отсюда вытекает следующее вероятностное утверждение относительно S² до извлечения выборки.

P( > )= (***).

- это квантиль распределения уровня . Пример 3.

Для данных, приведённых в примере 1, определим интервал, который с вероятностью 95% будет покрывать выборочную дисперсию.

Из формулы (***) следует, что

.

Из таблицы - распределения находим значения квантилей

12,4 39,36

- искомый интервал.