Свойства математического ожидания случайной функции.
Свойство 1.
Математическое ожидание неслучайной функции (t) равно самой неслучайной функции:
М[ (t)]= (t).
Свойство 2.
Неслучайный множитель (t) можно выносить за знак математического ожидания:
М[ (t)X(t)]= (t) М[X(t)].
Свойство 3.
Математическое ожидание суммы двух случайных функций Х и Y равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М[Х(t)+Y(t)]= mx(t)+ my(t).
Это свойство можно распространить на несколько слагаемых:
,
где n-число слагаемых.
Следствие.
Если X(t) – случайная функция, а (t) - неслучайная функция, то М[Х(t)+(t)]=mx(t)+(t).
Дисперсией случайной функции Х(t) называют неслучайную неотрицательную функцию Dx(t), значения которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента.
Dx(t) = M[((X(t)- mx(t))2]
Она характеризует разброс значений x в сечении относительно mx(t). В каждом сечении свой разброс и mx(t).
Средним квадратическим отклонением случайной функции Х(t) называется квадратный корень из дисперсии:
Свойства дисперсии случайной функции.
Свойство 1.
Дисперсия неслучайной функции (t) равна нулю:
D[((t)]=0.
Свойство 2.
Дисперсия суммы случайной функции Х(t) и неслучайной функции (t) равна дисперсии случайной функции:
D[Х(t)+(t)]= Dx(t).
Свойство 3.
Дисперсия произведения случайной функции Х(t) на неслучайную функцию (t) равна произведению квадрата неслучайной функции на дисперсию случайной функции:
D[Х(t)∙ (t)]= 2(t)Dx(t).
Центрированной случайной функцией называют разность между случайной функцией Х(t) и её математическим ожиданием:
.
Корреляционной функцией случайной функции Х(t) называют неслучайную функцию двух независимых аргументов Kx(t1,t2), значения которой при каждой паре фиксированных значений аргументов t1,t2 равно корреляционному моменту сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргумента:
Kx(t1,t2)=М[ (t1) (t2)].
Корреляционная функция характеризует связь между значениями случайной функции в моменты t1 и t2.
Свойства корреляционной функции.
Свойство 1.
Если t1=t2=t, то Kx(t1,t2)= Dx(t)
Свойство 2(свойство симметрии).
При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется:
Kx(t1,t2)= Kx(t2, t1).
Свойство 3.
Прибавление к случайной функции Х(t) неслучайного слагаемого
(t) не изменяет её корреляционную функцию:
Y(t)=X(t)+ (t)
Ky(t1,t2)= Kx(t1, t2).
Свойство 4.
При умножении случайной функции Х(t) на неслучайный множитель (t), её корреляционная функция умножается на произведение (t1) (t2):
Y(t)=X(t) (t)
Ky(t1,t2)= (t1) (t2)Kx(t1, t2).
Свойство 5.
Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений:
Kx(t1,
t2)
Нормированной корреляционной функцией случайной функции Х(t) называют неслучайную функцию двух независимых переменных t1 и t2, значения которой при каждой паре фиксированных значений равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:
,
-
средние
квадратические отклонения по сечениям
t1
и t2
соответственно.
Абсолютное значение нормированной корреляционной функции не превышает единицы:
ВЗАИМНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ.
Взаимные корреляционные функции двух случайных функций X(t) и Y(t) – это неслучайная функция двух независимых аргументов t1 и t2, значения которой при каждой паре фиксированных значений равно корреляционному моменту сечений обеих функций, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:
,
где
,
- центральные
разности случайных функций
X(t)
и
Y(t)
в сечениях
t1
и t2
соответственно.
Коррелированные случайные функции - две случайные функции, взаимная корреляционная функция которых отлична от нуля.
Если взаимная корреляционная функция равна нулю, то две случайные функции называют некоррелированными.