Формула Пуассона

Формула Пуассона используется при расчёте вероятностей редких событий, когда , .

Обозначим через среднее число успехов.

Вероятность того, что число успехов будет равно m при n испытаниях, можно найти по формуле:

.

Пример.

Выпекаются булочки с изюмом. Обозначим: n – число изюминок, N - число булочек.

Найти вероятность того, что в булочке будет ровно k изюминок.

Здесь , . Среднее число изюминок составляет (средняя плотность). Тогда

Формула полной вероятности.

Пусть А – случайное событие, которое происходит только совместно с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n , которые образуют полную группу событий. События Н₁, Н₂, …, Н_n в теории вероятностей называются гипотезами.

Вероятность р(А) можно определить с помощью формулы полной вероятности:

р(А)=р(Н₁)×р(А /Н₁ )+р(Н₂)×р(А /Н₂ )+…+р(Н_n)×р(А /Н_n ).

Пример.

Клиентами некоторого банка являются: государственные организации, коммерческие организации, физические лица. На их долю приходятся следующие объемы заимствованных средств: государственные организации - 5%, коммерческие организации - 15%, физические лица – остальной объем кредита. Определить общую вероятность невозврата кредита, если вероятность невозврата кредита государственной организацией составляет 0,001, коммерческой организацией - 0,01, физическими лицами - 0,1.

Обозначим:

событие А – не возврат кредита, Р(А) – вероятность события А.

Н₁ – не возврат кредита государственной организацией

Н₂ – не возврат кредита коммерческой организацией

Н₃ – не возврат кредита физическими лицами

р(Н₁)=5%, р(Н₂)=15%, р(Н₃)=80%, р(А / Н₁ ) =0,001 , р(А / Н₂ )=0,01 , р(А / Н₃ )=0,1.

По формуле полной вероятности находим:

р(А)=р(Н₁)×р(А|Н₁ )+ р(Н₂)× р(А|Н₂ )+ р(Н₃)×

×р(А|Н3)=0,05×0,001+0,15×0,01+0,8×0,1=0,082.

Наряду с формулой полной вероятности, используется формула Байеса:

р(Н_i|А )=(р(Н_i )×р(А|Н_i))/р(А),

где р(А) рассчитывается по формуле полной вероятности. Формула Байеса позволяет определить вероятность осуществления гипотезы в случае если произошло событие А.

Случайная величина.

Часто с каждым из возможных исходов опыта можно связать некоторое число.

Пример.

1. При бросании кубика с исходом опыта можно связать число, нанесённое на грань этого кубика: например Ω={1,2,3,4,5,6}. Число, которое выпадает при бросании кубика есть случайная величина.

2. Число часов безотказной работы лампочки.

3. Время ожидания автобуса на остановке.

Случайная величина Х есть числовая функция, определённая на множестве элементарных событий Ω. Случайная величина Х каждому элементарному событию  ставит в соответствие число Х()=Х,  Ω.

Будем обозначать:

Х, Y – случайные величины.

х, y – реализации случайной величины в данном опыте.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины.

Дискретная случайная величина Х задаётся конечной или счётной последовательностью x ₁, x ₂,…, x _{i, …} и значениями p₁, p ₂,…, p_{i, …} вероятностей, с которыми появляются значения x ₁, x ₂,…, x _{i, … .}

Любая случайная величина полностью описывается законом распределения. Под законом распределения понимают любой способ, с помощью которого можно значениям случайной величины Х: x ₁, x ₂,… поставить в соответствие вероятности p₁, p ₂,…

Способы задания случайной величины:

1. табличный

Х	x 1	x 2	…	x i	…
p	p1	p 2	…	pi	…

При одном бросании кубика число очков Х:

Х	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6
F(x)	1/6	2/6	3/6	4/6	5/6	6/6

2. графический

При графическом способе используется функция распределения.

3. аналитический

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью функции распределения F(x):

F(x)=Р(Х<x)

Для дискретной случайной величины функцию распределения можно задать с помощью

F(x)= .

Свойства функции распределения случайной величины:

1. F(x) – неубывающая функция.

2. F(x) при х .

3. F(x) при х .

4. F(x) непрерывна слева.