Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений и с повторениями

Аналогично задаче однофакторного дисперсионного анализа можно рассмотреть задачу о действии на результативный признак Y двух факторов – A и B.

Логика однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа во многом схожа и состоит в следующем.

Пусть - математическое ожидание результативного призна­ка Y при уровне A^(j) (j = 1, 2, … c_a) ; - математическое ожидание результативного признака Y при уровне B^(l) (l = 1, 2, … c_b). Если при изменении уровня фактора A групповые математические ожидания не изменяются, то считаем, что результативный признак не зависит от фактора А, в противном случае такая зависимость имеется. Аналогично, если при измене­нии уровня фактора B сохраняется равенство групповых математических ожиданий, то считаем, что Y не зависит от фактора B. Но поскольку числовые значения математических ожиданий неизвестны, возникает задача проверки следующих гипотез:

Проверять эти гипотезы, так же как и в задаче однофакторно­го дисперсионного анализа, можно только при соблюдении сле­дующих требований:

1) при различных сочетаниях уровней факторов A и B наблю­дения независимы;

2) при каждом сочетании уровней факторов A и B результатив­ный признак Y имеет нормальный закон распределения с посто­янной для различных сочетаний генеральной дисперсией σ².

Основой проведения двухфакторного дисперсионного анали­за служит комбинационная группировка по двум факторам с по­следующим разложением полной вариации результативного признака на сумму вариаций фактора A и фактора B, вариации взаимодействия и случайной ошибки по формуле

где:

- полная вариация. Определяется как полная сумма квадратов отклонения от общего среднего:

.

Общее среднее значение равно:

- вариация фактора A — показатель ва­риации, вызванной влиянием на Y фактора A;

где - среднее значение, соответствующее j – ому уровню фактора A

- вариация фактора В — показатель ва­риации, вызванной влиянием на Y фактора B;

где - среднее значение, соответствующее l – ому уровню фактора B

- вариация взаимодействия. Определяет эффект взаимодействия между факторами A и B.

где - среднее значение, соответствующее i –ому уровню фактора A и l – ому уровню фактора B

- случайная ошибка. Показатель вариации, вызванной влиянием на Y остаточных факторов.

Если каждую сумму квадратов отклонений разделить на соответствующее число степеней свободы, то получится четыре типа дисперсии , , ,

В двухфакторном дисперсионном анализе применяются три разных критерия.

Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта фактора A и альтернативной гипотезы H₁: не все m_j равны используется F – критерий Фишера:

,

В математической статистике доказывается, что если гипотеза верна, то величина имеет F - распределение с числом степеней свободы df₁ = (k_a – 1) и df₂ = (k_a – 1) (k_b – 1).

Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта фактора B и альтернативной гипотезы H₁: не все m_l равны используется F – критерий Фишера:

,

В математической статистике доказывается, что если гипотеза верна, то величина имеет F - распределение с числом степеней свободы df₁ = (c_b – 1) и df₂ = (c_a – 1) (c_b – 1).

Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта взаимодействия факторов A и B

: взаимодействие факторов A и B равно нулю

и альтернативной гипотезы

H₁: взаимодействие факторов A и B не равно нулю

используется F – критерий Фишера:

,

Проверка выдвинутых гипотез осуществляется так же, как и при однофакторном дисперсионном анализе, и состоит в нахожде­нии правосторонних критических интервалов с после­дующим контролем попадания (или непопадания) в данный интер­вал расчетных значений F^A (или F^B) Если расчетное значение по­падает в критический интервал, то гипотеза ( ) отвергается, т.е. считается, что фактор A (B) влияет на результативный признак Y

Двухфакторный дисперсионный анализ может иметь две раз­новидности:: без повторений и с повторениями. В первом случае каждому уровню факторов соответствует только одна выборка данных, во втором — определенным уровням факторов может со­ответствовать более одной выборки данных.

Пример двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями.

Исследуется зависимость продолжительности работы подшипников при автоколебании нагревании. Данные эксперимента приведены в таблице

	Слабое нагревание	Сильное нагревание
Слабое автоколебание	12	26
	24	16
Сильное автоколебание	18	101
	28	113

Инструмент анализа Excel «Двухфакторный дисперсионный анализ с повто­рениями» служит для выяснения на основе выборочных данных факта влияния контролируемых факторов A и B на результатив­ный признак Y. В диалоговом окне зада­ются те же параметры, что и в диалоговом окне «Однофакторный дисперсионный анализ», только добавлено поле Число строк для выборки. B это поле вводится число наблюдений, приходящихся на каждый уровень одного из факторов. Каждый уровень фактора должен содержать одно и то же количество наблюдений (строк таблицы).

Результаты расчетов приведены в таблице

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями
ИТОГИ	Слабое нагревание	Сильное нагревание	Итого
Слабое автоколебание
Счет	2	2	4
Сумма	36	42	78
Среднее	18	21	19,5
Дисперсия	72	50	43,66667
Сильное автоколебание
Счет	2	2	4
Сумма	46	214	260
Среднее	23	107	65
Дисперсия	50	72	2392,667
Итого
Счет	4	4
Сумма	82	256
Среднее	20,5	64
Дисперсия	49	2506
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Выборка	4140,5	1	4140,5	67,87705	0,001184	7,70865
Столбцы	3784,5	1	3784,5	62,04098	0,001404	7,70865
Взаимодействие	3280,5	1	3280,5	53,77869	0,00184	7,70865
Внутри	244	4	61
Итого	11449,5	7

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы.

1. Гипотезу об отсутствие статистически значимого эффекта взаимодействия ( ) следует отклонить поскольку больше критического значения 7,7 (соответственно p – значение меньше уровня значимости α = 0,05) ;

2. Гипотезу об отсутствие статистически значимого эффекта взаимодействия ( ) следует отклонить поскольку больше критического значения 7,7 (соответственно p – значение меньше уровня значимости α = 0,05) ;

3. Гипотезу об отсутствие статистически значимого эффекта взаимодействия ( ) следует отклонить поскольку больше критического значения 7,7 (соответственно p – значение меньше уровня значимости α = 0,05) ;

Двухфакторный дисперсионный анализ с повто­рениями

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Выборка
Столбцы
Взаимодействие
Внутри
Итого

63