Лабораторная работа № 7

Нелинейная регрессия Цель работы:

1. Изучить возможности MATLAB для сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов.

2. Приобрести навыки нахождения функции аппроксимации для нелинейной зависимости.

3. Научиться определять погрешность аппроксимации.

Основные теоретические сведения

1. Метод наименьших квадратов

Физические величины зачастую подчиняются зависимостям, отличным от линейных или полиномиальных.

Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора a параметров произвольной функции F (x, a₀ , a₁, … , a_m), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек.

Ввиду простоты расчетов аппроксимация линейной зависимости используется довольно часто. Кроме того, многие функции, зависящие от двух параметров, можно линеаризовать путем замены переменных.

Для этого необходимо подобрать такое преобразование исходной зависимости y(x) = φ(x, a₀ , a₁), в результате которого она приобретает линейный вид v = b₀ + b₁∙u. Далее решается задача линейной аппроксимации для новой зависимости и вычисленные коэффициенты b₀ и b₁ пересчитываются в коэффициенты a₀ и a₁.

Для ряда часто встречающихся двухпараметрических зависимостей возможные замены переменных (а также, обратные замены для пересчета b₀ и b₁ в a₀ и a₁) приведены в табл. 1.

Таблица 1

Вид зависимости	Замена переменных		Ограничения	Обратная замена переменных
Гиперболическая
Логарифмическая
Показательная
Степенная
Комбинированная

2. Нахождение коэффициентов полинома

В системе MATLAB определены функции аппроксимации данных полиномами по методу наименьших квадратов, которая основана на минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от модели:

polyfit(x, y, n),

где x и y – векторы, содержащие координаты экспериментальных точек, n – степень полинома (максимальная степень полинома должна быть на 1 меньше числа экспериментальных точек).

Функция polyfit находит коэффициенты полинома заданной степени n. Результатом этой функции является вектор-строка длиной n+1, содержащий коэффициенты полинома в порядке уменьшения степеней х.

3. Порядок выполнения лабораторной работы

1. Ознакомиться с основными теоретическими сведениями.

2. Запустить систему MATLAB.

3. Установить свой текущий каталог.

4. Сохранить протокол сессии в файле с именем: Отчет_по_лр7_<Группа>_<Фамилия>

5. Для своего варианта задания создать вектор х и вектор y.

6. Построить график исходной функции y=f(x) кружочками.

7. Графоаналитическим способом определить подходящую функцию y=φ(x), которой можно представить исходную (см. Пример).

8. Выполнить соответствующую замену переменных (см. табл. 1).

9. Найти коэффициенты линеаризованной зависимости.

10. Выполнить обратный переход к экспериментальной зависимости.

11. Построить аппроксимирующую функцию в том же (исходном) интервале изменения х, но со значительно большим количеством точек, на одном графике с исходной функцией.

12. Сохранить график. Вставить его в протокол сессии.

13. Оценить погрешность аппроксимации.

14. Составить отчет. Защитить работу.

Содержание отчета

1. Номер, тема и цель лабораторной работы.

2. Краткие теоретические сведения.

3. Условие своего варианта задания. Выполнение, результат, график.