Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy, (10)

где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. число, для которого выполнено равенство .

Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.

Если у = 0, то комплексное число z = x + i0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.

На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й степени вида , где a_k – числа, , имеет ровно n корней.

Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z₁= x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ означает равенство их действительных и мнимых частей: .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z₁= x₁ + iy₁,

z₂ = x₂ + iy₂, то

1) z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂);

2) z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂);

3) z₁ z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁y₂ + х₂y₁);

4) .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Вычислить предел:

2. Найти производную функции:

3. Исследовать функцию: у = х³ – 12х + 4 и построить график

4. Резервуар ёмкостью 108 м³ с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть (с внешней стороны) эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество эмали?

5. Вычислить интеграл:

6. Сделать чертёж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 8х – х² – 7 и осью Ох

7. Решить дифференциальное уравнение:

8. Дано уравнение, комплексное число . Требуется:

а) найти корни уравнения z_1, z₂ на множестве комплексных чисел;

б) найти комплексное число в алгебраической форме;

,

Вариант 2

1. Вычислить предел:

2. Найти производную функции: и вычислить U'

3. Исследовать функцию: у = х³+ х²+6х+2 и построить график

4. Тело движется прямолинейно по закону S = 2 + 12t +2t² – t³.

Найти максимальную скорость движения тела.

5. Вычислить интеграл:

6. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х³ –1 у = 0, х = 0

7. Решить дифференциальное уравнение:

8. Дано уравнение, комплексное число . Требуется:

а) найти корни уравнения z_1, z₂ на множестве комплексных чисел;

б) найти комплексное число в алгебраической форме;

,

Вариант 3

1. Вычислить предел:

2. Найти производную функции: и вычислить у'

3. Исследовать функцию: у = х³ – х² – 6х + 1 и построить график.

4. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого 96π см², чтобы его объем был наибольшим?

5. Вычислить интеграл:

6. Сделать чертёж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х²– 3х – 4 и Ох

7. Решить дифференциальное уравнение:

8. Дано уравнение, комплексное число . Требуется:

а) найти корни уравнения z_1, z₂ на множестве комплексных чисел;

б) найти комплексное число в алгебраической форме;

,

Вариант 4

1. Вычислить предел:

2. Найти производную функции: и вычислить S' (2)

3. Исследовать функцию: у=х³–10,5х²+36х+1 и построить график.

4. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 36см, наибольшую площадь имеет квадрат.

5. Вычислить интеграл:

6. Сделать чертёж и вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у² = 4х и х² = 4у

7. Решить дифференциальное уравнение:

8. Дано уравнение, комплексное число . Требуется:

а) найти корни уравнения z_1, z₂ на множестве комплексных чисел;

б) найти комплексное число в алгебраической форме;

,