![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Общие требования
- •Методические указания
- •Основные теоремы о пределах функции
- •Следствия.
- •Вычисление пределов
- •Геометрический смысл производной
- •Физический смысл производной
- •Вторая производная
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные формулы интегрирования (табличные интегралы):
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Комплексные числа
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 30
- •ЭКзаменационные вопросы
- •Рекомендуемая литература
Основные теоремы о пределах функции
тогда и только
тогда, когда
,
где
- бесконечно малая функция при
.
Если функции
и
определены в некоторой окрестности точки а, и существуют пределы
,
то существуют пределы их суммы
, произведения
и, если
,
, то и частного
и имеют место равенства.
а)
-
б)
в)
при
и
Следствия.
Постоянный множитель может быть вынесен из под знака предела
Предел разности равен разности пределов
Предел степени равен степени предела
Если ,
и в некоторой окрестности точки
имеют место неравенства
, то
Вычисление пределов
Для вычисления предела многочлена при
достаточно вместо переменной
подставить значение
, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е.
При вычислении предела отношения
, т. е.
,
где – число
а) Если
,
то можно применить свойство о пределе
частного
б) Если
,
то теорему частного применить нельзя.
Тогда если
,
то
если
же
– имеем неопределенность вида
.
В этом случае предел
можно вычислять разложением многочленов
и
на множители или заменой
.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ
Производная функции, её геометрический и механический смысл
О1 / Производной
функции
по аргументу
называется
предел
отношения приращения функции
к приращению аргумента
,
когда
.
О2 / Физический смысл производной
Скорость изменения
функции при данном
есть предел средней скорости ее для
промежутка аргумента от
до
,
когда
О3 / Геометрический смысл производной
Производная
функция
при
равна угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику данной функции
в его точке с абсциссой
.
Правила дифференцирования
, С - постоянная 5)
6)
, С-постоянная 7)
4)
Формулы дифференцирования
№ |
Основные Элементарные функции |
Сложные функции |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
Производная сложной функции
Пусть
,
где и является не независимой
переменной, а функцией независимой
переменной
.
Таким образом
.
В этом случае
функция называется сложной функцией
от
,
а переменная
- промежуточным аргументом.
Производная сложной
функции находится на основании следующей
теоремы: если
и
дифференцируемые
функции своих аргументов, то производная
сложной функции
существует и равна произведению
производной функции
по промежуточному аргументу и на
производную промежуточного аргумента
и по независимой переменной