4 Основные формулы

Классическая механика. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х

x = f(t),

где f(t) – некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось х

Средняя путевая скорость

где ∆s – путь, пройденный точкой за интервал времени ∆t. Путь ∆s в отличие от разности координат ∆х = х₂ – х₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. ∆s ≥ 0.

Проекция мгновенной скорости на ось х

.

Проекция среднего ускорения на ось х

.

Проекция мгновенного ускорения на ось х

.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ = f (f), r = R = const.

Модуль угловой скорости

.

Модуль углового ускорения

.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

v = ωR, a_τ = εR, а_п = ω²R,

где v – модуль линейной скорости; a_τ и а_п – модули тангенциального и нормального ускорений; ω – модуль угловой скорости; ε – модуль углового ускорения; R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

, или .

Угол между полным и нормальным ускорениями

 = arc cos(a_n/a).

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

х = Acos (ωt + ),

где х – смещение; А – амплитуда колебаний; ω – угловая или циклическая частота;  – начальная фаза.

Циклическая частота , период колебаний T и частота  связаны соотношениями

 = 2/T = 2.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

v = –Aωsin(ωt + ); а = –Aω²cos(ωt + ).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

;

б) начальная фаза результирующего колебания

.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,

х = А₁соsωt; у = А₂cos(ωt + φ):

а) , если разность фаз  =0;

б) , если разность фаз  = ±π;

в) , если разность фаз  =± .

Период колебаний математического маятника

,

где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.

Период колебаний пружинного маятника

,

где m – масса, k – жесткость пружины

Период колебаний физического маятника

,

где I – момент инерции маятника относительно оси качения, d – расстояние от оси до центра тяжести.

Уравнение плоской бегущей волны

,

где у – смещение любой из точек среды с координатой х в момент t; v – скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз ∆ колебаний с расстоянием ∆х между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;

,

где λ – длина волны.

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

.

Второй закон Ньютона

,

где – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = – kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести

= m ;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационного поля:

 = m ;

г) сила трения (скольжения)

F = N,

где  – коэффициент трения; N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

,

или для двух тел (i=2)

m₁  + m₂ =m₁  + m₂ ,

где и – скорости тел в момент времени, принятый за начальный; и – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

E_к = тv²/2, или E_к = р²/(2т).

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

,

где k – жесткость пружины; х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

E_p = –Gm₁m₂/r,

где G – гравитационная постоянная; т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

E_p = mgh,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

Е = E_к + E_p = const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера, изменения кинетической энергии материальной точки:

A = ∆E_кT = E_к2  – E_к1.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

М_z = J_z,

где М_z – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;  – угловое ускорение; J_z – момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс,

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра) и проходящей через его центр масс,

J = mR²,

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр масс,

;

г) тонкого круглого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром

,

где R – радиус диска.

д) шара относительно оси, проходящей через центр шара

где R – радиус шара.

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,

L_z = J_zω,

где ω – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

J_zω = const,

где J_z – момент инерции системы тел относительно оси z; ω – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

_, или .

Релятивистская механика. Релятивистская масса

или ,

где m₀ – масса покоя частицы; v – ее скорость; c – скорость света в вакууме; – скорость частицы, выраженная в долях скорости света ( ).

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

или ,

где – энергия покоя частицы.

Полная энергия свободной частицы

,

где T – кинетическая энергия релятивистской частицы.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

или .

Импульс релятивистской частицы

или .

Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

.

Молекулярная физика. Термодинамика. Количество вещества тела (системы)

v = N/N_a,

где N - число структурных элементов (молекул атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); N_A – постоянная Авогадро (N_а=6,02.10²³ моль^-1).

Молярная масса вещества

М = m/v,

где т – масса однородного тела (системы); v – количество вещества этого тела.

Относительная молекулярная масса вещества

M_r=Σn_iA_r,I,

где n_i – число атомов i-гo химического элемента, входятих в состав молекулы данного вещества; A_r, t – относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой вещества

М = M_rk,

где k = 10^-3 кг/моль.

Количество вещества смеси газов

v = v₁ + v₂ +…+ v_n = N₁/N_A+N₂/N_A+…+N_n/N_A,

или

v =   +   + … +  ,

где v₁, N₁, m_i, M_i, – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

pV =  RT = vRT,

где т – масса газа, М – молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная, v – количество вещества, Т – термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T = const, m = const)

pV = const

или для двух состояний газа

p₁V₁ = p₂V₂

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: р = const, m = const)

 = const,

или для двух состояний

 =  ;

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

 = const,

или для двух состояний

 =  ;

г) объединенный газовый закон (m = const)

 = const, или  =  ,

где p₁, V₁, T₁ – давление, объем и температура газа в начальном состоянии; р₂, V₂, T₂ – те же величины в конечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

р = p₁ + p₂ +…+ p_n,

где p_i – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

,

где m – масса i-го компонента смеси; v_i= – количество вещества i-гo компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Массовая доля г-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

ω_i =  ,

где m – масса смеси.

Концентрация молекул

n =   = 

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; ρ – плотность вещества; V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

,

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

,

где k – постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия

,

где i – число степеней свободы молекулы

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

р = nkT.

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла): число молекул N, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u +u, равно

где N – полное число молекул газа, u = v/v_в, где v – данная скорость, v_в – наиболее вероятная скорость.

Скорости молекул:

- средняя квадратичная;

- средняя арифметическая;

- наиболее вероятная,

где m₀ – масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы

и = v/v_B,

где v – скорость данной молекулы.

Среднее число столкновений одной молекулы за секунду

,

где  - эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (с_v) и постоянном давлении (с_p)

C_v =  , C_р =  .

Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями

с = С/М, С = сМ.

Уравнение Майера

С_р – C_v = R.

Внутренняя энергия идеального газа

U= RT= C_VT.

Первое начало термодинамики

Q = ∆U + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); ∆U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

в общем случае;

A = p(V₂ – V₁) при изобарном процессе;

A= RTln при изотермическом процессе;

A = –∆U = – C_V∆T, или A=

при изотермическом процессе; где γ=c_p/c_v–показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

= const, ,

,

Термический КПД цикла

η = ,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q₂ – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

Η =  =  ,

где Т₁ и Т₂ – термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.

Изменение энтропии тела в любом обратимом процессе, переводящем его состояния A в состояние B

,

где dQ – элементарное количество теплоты, полученное телом при температуре T.

Коэффициент поверхностного натяжения

, или ,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; E – изменение свободной энергии поверхности пленки жидкости, связанное с изменением площади s поверхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление p, создаваемое сферической поверхностью жидкости

,

где R – радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

,

где  – краевой угол ( = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью;  =  при полном несмачивании); R – радиус канала трубки;  - плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими параллельными друг другу плоскостями

,

где d – расстояние между плоскостями.

Электростатика. Постоянный электрический ток. Закон Кулона

F= ,

где F – сила взаимодействия точечных зарядов Q₁ и Q₂; r – расстояние между зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость; ε₀ – электрическая постоянная.

Напряженность электрического поля и потенциал

, φ = E_p/Q,

где E_p – потенциальная энергия точечного положительного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

, E_p =Q.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),

,

где , _i – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом

,

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

а) Е = 0; (при r < R);

б) ; (при r = R);

в) ; (при r>R);

где Q – заряд сферы.

Линейная плотность заряда

.

Поверхностная плотность заряда

σ = Q/S.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью , то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dQ =  dl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы

; ,

где – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность и потенциал φ поля, создаваемого распределенным зарядом:

; .

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром

,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью

Е= .

Связь потенциала с напряженностью:

a)  = -gradφ, или в общем случае;

б)  = (₁ – ₂)/d в случае однородного поля;

в) в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.

Электрический момент диполя

,

где Q – заряд; – плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом ₁ в точку с потенциалом ₂.

A₁₂ = Q(₁ – ₂)

или

,

где E_l – проекция вектора напряженности на направление dl.

Электроемкость

C = Q/, или C = Q/U

где  – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U – разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора

С = ε₀εS/d

где S – площадь пластины (одной) конденсатора; d – расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а) при последовательном соединении;

б) при параллельном соединении,

где N – число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора:

W = QU/2, W = CU²/2, W = Q²/(2C).

Сила постоянного тока

I = Q/t,

где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность тока

J = I/S,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью <v> направленного движения заряженных частиц

J = Qn<v>,

где Q – заряд частицы; n – концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:

a) для участка цепи, не содержащего ЭДС, где ₁ – ₂ = U – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление участка;

б) для участка цепи, содержащего ЭДС, где  – ЭДС источника тока; R – полное coпротивление участка; r – внутреннее coпротивленее источника;

в) для замкнутой (полной) цепи, где R – внешнее сопротивление цепи; r – внутреннее сопротивление цепи.

Законы Кирхгофа:

а) ΣI_i = 0 – первый закон;

б) ΣI_iR_i = Σ_i – второй закон,

где ΣI_i – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; ΣI_iR_i – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков; Σ_I – алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление R и проводимость G проводника

R =  ρl/S, G =  γS/l,

где ρ – удельное сопротивление; γ – удельная проводимость; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:

а) R = ΣR при последовательном соединении;

б) при параллельном соединении, где R_i – сопротивление i-гo проводника.

Работа тока:

А = IUt, A  = I²Rt, A = U²t/R.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.

Мощность тока:

P = IU, P = I²R, Р = U²/R.

Закон Джоуля–Ленца

Q = I²Rt.

Закон Ома в дифференциальной форме

,

где γ – удельная проводимость; – напряженность электрического поля; – плотность тока.

Связь удельной проводимости γ с подвижностью b заряженных частиц (ионов)

γ = Qn(b₊ + b_–),

где Q – заряд иона; n – концентрация ионов; b₊ и b_– – подвижности положительных и отрицательных ионов.

Электромагнетизм. Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

 = μμ₀

где μ – магнитная проницаемость изотропной среды; μ₀ – магнитная постоянная. В вакууме μ = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме

=μ₀

Закон Био–Савара–Лапласа

или ,

где – магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной dl с током I; – радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция;  – угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода.

Магнитная индукция в центре кругового тока

,

где R – радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока

,

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока.

В = μμ₀I/(2πr₀),

где r₀ – расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током,

.

Магнитная индукция поля соленоида

В = μμ₀nI,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера),

, или F = IBlsinα,

где I – длина провода;  – угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции . Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода. Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу провода в отдельности:

.

Магнитный момент плоского контура с током

,

где – единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

, или M = p_mВsin,

где  – угол между векторами и .

Потенциальная энергия (механическая) контура с контура с током в магнитном поле

E_p,мех = – , или E_p,мех = –p_mВcos

Отношение магнитного момента p_m к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по крутой орбите,

,

где Q – заряд частицы; m – масса частицы.

Сила Лоренца

, или F = QvBsin,

где – скорость заряженной частицы;  – угол между векторами и .

Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BScos или Ф = B_nS,

где S – площадь контура;  – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции:

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

Ф =  .

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток)

 = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле

A = I∆Ф

ЭДС индукции

.

Разность потенциалов на концах провода, движущегося со скоростью в магнитном поле,

U = Blvsin,

где l – длина провода;  – угол между векторами и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур,

Q = ∆Ф/R, или Q = N∆Ф/R = ∆/R,

где R – сопротивление контура.

Индуктивность контура

L = Ф/I.

ЭДС самоиндукции

.

Индуктивность соленоида

L = μμ₀n²V,

где п – отношение числа витков соленоида к его длине; V – объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) (при замыкании цепи), где  – ЭДС источника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

б) (при размыкании цепи), где l₀ – сила тока в цепи при t = 0; t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля

.

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)

 = BH/2, или  = В²/(2μμ₀), или  = μμ₀H ²/2

где В – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.

Волновая оптика. Скорость света в среде

,

где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления среды.

Оптическая длина пути световой волны

,

где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

Оптическая разность хода двух световых волн

.

Зависимость разности фаз оптической разности хода световых вол

,

где  – длина световой волны.

Условие максимального усиления света при интерференции

Условие максимального ослабления света

.

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки,

, или ,

где d – толщина пленки, n – показатель преломления пленки; i₁ – угол падения; i₂– преломления света в пленке.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете

где k – номер кольца; R – радиус кривизны.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете

.

Угол  отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия

,

где a – ширина щели; k – порядковый номер максимума.

Угол  отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции света на дифракционной решетке, определяется из условия

где d – период дифракционной решетки.

Разрешающая способность дифракционной решетки

,

где  – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий ( и  + ),при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученным посредством данной решетки; N – полное число щелей решетки.

Формула Вульфа–Брэгга

,

где  – угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле); d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

Закон Брюстера

,

где – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса

где I₀ – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность этого света после анализатора;  – угол между направлением колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).

Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

а)  = d (в твердых телах),

где  – постоянная вращения, d – длина пути, пройденная светом в оптически активном веществе;

б)  = []d (в растворах),

где [] – удельное вращение;  – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

Тепловое излучение. Закон Стефана–Больцмана для абсолютно черного тела

,

где R_e –энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела;  – постоянная Стефана–Больцмана; T – термодинамическая температура Кельвина.

Закон Стефана–Больцмана для нечерных тел

,

где a – коэффициент излучения, показывающий, какую часть составляет энергетическая светимость данного тела от энергетической светимости R_e абсолютно черного тела, взятого при той же температур.

Связь между радиационной температурой T_p тела и его истинной температурой T

.

Закон смещения Вина

,

где _m – длина волны, на которую приходится максимальная энергия излучения; b – постоянная Вина.

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела

где h – постоянная планка, k – постоянная Больцмана, c – скорость света,  - частота излучения.

Квантовая природа света. Энергия фотона

или ,

где h – постоянная Планка; – постоянная Планка, деленная на 2;  – частота фотона;  – циклическая частота.

Масса фотона

,

где c – скорость света в вакууме;  – длина волны фотона.

Импульс фотона

.

Формула Эйнштейна для фотоэффекта

,

где h – энергия фотона, падающая на поверхность металла; A – работа выхода электрона; T_max – максимальная кинетическая энергия фотоэффекта

Красная граница фотоэффекта

или ,

где ₀ – минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; ₀ – максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект; h – постоянная Планка; c – скорость света в вакууме.

Формула Комптона

или ,

где  – длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабосвязанным электроном; ^/ – длина волны фотона, рассеянного на угол  после столкновения с электроном; m₀ – масса покоящегося электрона.

Комптоновская длина волны

.

Давление света при нормальном падении на поверхность

,

где E_e – энергетическая освещенность (облученность);  – коэффициент отражения;  – объемная плоскость энергии излучения.

Атом Бора. Момент импульса электрона (второй постулат Бора)

или ,

где m – масса электрона; v_n – скорость электрона на n-ой орбите; r_n–радиус n-ой стационарной орбиты; –постоянная Плана; n – главное квантовое число (n = 1,2,3,…).

Радиус n-ой стационарной орбиты

где a₀ – первый боровский радиус.

Энергия электрона в атоме водорода

,

где E_i – энергия ионизации атома водорода.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода,

, или ,

где n₁ и n₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уравнениям, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число

,

где  – длина волны излучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга.

Элементы квантовой механики. Длина волны де Бройля

,

где p – импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией :

а) ; ;

б) ; ,

где m₀ – масса покоя частицы; m – релятивистская масса; v – скорость частицы; c – скорость света в вакууме; E₀ – энергия покоя частицы.

Соотношение неопределённостей Гейзенберга:

а) (для координаты и импульса),

где – неопределенность проекции импульса на ось X; x – неопределенность координаты;

б) (для энергии и времени),

где E – неопределенность энергии; t – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; E – полная энергия; U = U(x) – потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

,

где d(x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dx.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от до

.

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) (собственная нормированная волновая функция);

б) (собственное значение энергии),

где n – квантовое число (n = 1, 2, 3,…); l – ширина ящика. В области U =  и .

Атомное ядро. Радиоактивность. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

,

где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.

Закон радиоактивного распада

, или ,

где dN число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ – число ядер в начальный момент (t = 0);  – постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

.

В случае, если интервал времени t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада T_1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле

.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

.

Среднее время  жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в e раз,

.

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

,

где m –масса изотопа; M –молярная масса; N_A –постоянная Авогадро.

Активность A радиоактивного изотопа

, или ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; A₀ – активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа

.

Ядерные реакции. Дефект массы ядра

,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); A – массовое число (число нуклонов в ядре); (A – Z) – число нейтронов в ядре; m_p – масса протона; m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра.

Энергия связи ядра

,

где m – дефект массы ядра; c – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна E_св = 931m, где дефект массы m – в а.е.м.; 931 –коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. ~ 931 МэВ).

Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции)

,

где m, m^/ - сумма масс покоя частиц соответственно до и после реакции.

Элементарные частицы. Обозначения квантовых чисел: Q – электрический заряд (в единицах е), L – лептонный заряд (L_e – электронный, L_ - мюоиный), В – барионный заряд, Т – изотопический спин (изоспин), Т_z – его проекция, S – странность, С – очарование (шарм).

При взаимодействии частиц выполняются законы сохранения лептонного и барионного зарядов. В сильных взаимодействиях – также законы сохранения странности S, изоспина Т и его проекции Т_z.

Таблица 1 - Квантовые числа кварков

Кварк	Q	B	T	Tz	S	C
u	2/3	1/3	½	½	0	0
d	–1/3	1/3	½	–½	0	0
s	–1/3	1/3	0	0	–1	0
c	2/3	1/3	0	0	0	1

Физика молекул. Приведенная масса двухатомной молекулы

,

где m₁ и m₂ – массы атомов, входящих в состав молекул.

Собственная круговая частота осциллятора:

,

где  – коэффициент квазиупругой силы.

Энергия колебания гармонического осциллятора:

,

где n – колебательное квантовое число (n = 0, 1, 2, 3 …).

Энергия колебания ангармонического осциллятора:

,

где v – колебательное квантовое число (v = 0, 1, 2, 3 …);  – коэффициент ангармоничности.

Разность энергий двух соседних колебательный уровней:

.

Максимальное значение квантового числа v:

.

Максимальная энергия колебательного движения:

.

Энергия диссоциации двухатомной молекулы:

.

Момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно прямой, соединяющей ядра атомов:

J = d²,

где  – приведенная масса молекулы; d – межъядерное расстояние.

Вращательная постоянная:

.

Энергия вращательного движения двухатомной молекулы:

E_ = B( + 1),

где  – вращательное квантовое число ( = 0, 1, 2, 3 …).

Физика твердого тела. Теплоемкость кристалла. Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

,

где ₀ – нулевая энергия ; – постоянная Планка; – круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов,

,

где R – молярная газовая постоянная; – характеристическая температура Эйнштейна; – молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

(T << _D).

Теплота, необходимая для нагревания тела,

где m – масса тела; M – молярная масса; T₁ и T₂ – начальная и конечная температура тела.

Элементы квантовой статистики. Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле:

при T  0 ;

при T = 0 (при  < E_F),

где dn() – концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от  до  + d; m и  – масса и энергия электрона; E_F – энергия Ферми.

Уровень Ферми в металле при T = 0:

.

Полупроводники. Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где E – ширина запрещенной зоны; ₀ – константа.

Удельная проводимость собственных полупроводников:

,

где e – заряд электрона; n – концентрация носителей заряда (электронов и дырок); b_n и b_p – подвижность электронов и дырок.

Сила тока в p–n-переходе

,

где I₀ – предельное значение силы обратного тока; U – внешнее напряжение, приложенное к p–n-переходу.

Контактные и термоэлектрические явления. Эффект Холла. Внутренняя контактная разность потенциалов

,

где и –энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; – заряд электрона.

Напряжение на гранях образца при эффекте Холла:

,

где R_H – постоянная Холла; B – индукция магнитного поля; l – ширина пластины; j – плотность тока.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, германия и др., обладающих носителями заряда одного типа (n или p):

.