- •1.Понятие статистической средней. Степенная средняя простая и взвешенная.
- •2.Средняя арифметическая величина
- •3.Свойства средней арифметической величины. Упрощеный расчёт средней арифметической величины способом условных моментов.
- •4.Средняя гармоническая величина (простая и взвешенная)
- •Средняя геометрическая величина
- •6.Средняя квадратическая величина (простая и взвешенная)
Средние величины (СВ)
План:
Понятие статистической средней. Степенная средняя простая и взвешенная.
Средняя арифметическая величина . Особенности расчёта средней арифметической величины по интервальному вариационному ряду распределения (ИВРР).
Основные свойства средней арифметической величины. Упрощеный расчёт средней арифметической величины способом условных моментов.
Средняя гармоническая величина.
Средняя геометрическая величина.
Средняя квадратическая величина. Правило мажорантности средних величин.
1.Понятие статистической средней. Степенная средняя простая и взвешенная.
Для выявления закономерного уровня количественного признака в статистической совокупности рассчитывают средние величины. Благодаря действию закона больших чисел в средних величинах погашаются индивидуальные колебания количественного признака, и выявляется объективно-достигнутый уровень этого признака.
Средняя величина – это обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень количественного признака для одной единицы совокупности (качественно однородной).
Для получения качественно однородной совокупности используют типологические группировки (выделение групп производится обязательно по существенному признаку)
Обозначения:
варианта – ;
частота повторения варианты – .
Если средняя величина рассчитана по данным статистического наблюдения (не сгруппированным), то она называется простой средней величиной.
Если средняя рассчитывается по вариационному ряду распределения (с учётом частоты повторения вариант), то она называется взвешенной.
В экономической практике применяется 4 типа средних:
средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя геометрическая;
средняяк вадратическая.
Каждая из этих видов средних может быть теоретически получена из формулы степенной средней. Заданы вариантыв общем виде:
.
Средняя степенная простая:
=
Если данные СН сгруппированы по количественному признаку, то получен:
Вариационный ряд распределения (общий вид):
Варианта |
Частота (статистический вес) |
|
|
|
|
|
|
… |
… |
|
|
ИТОГО |
f |
Средняя степенная взвешенная:
=
2.Средняя арифметическая величина
Теоретически средняя арифметическая величина может быть получена из формулы степенной средней при условии, что показатель степени «z» у всех вариант равен 1.
Тогда - Ср.арифм. простая
Пример. На станции обследована загрузка шести вагонов (табл.1):
Таблица1
Погрузка вагонов на станции
Вагон |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Погружено тонн в вагон |
61,3 |
28,4 |
26,1 |
38,4 |
52,7 |
45,8 |
Определить, сколько тонн груза погружено в среднем в один вагон.
Решение.
=41.78(т/ваг)
Если данные сгруппированы, то средняя арифметическая рассчитывается по формуле взвешенной величины:
Пример. На станции обследована загрузка двадцати вагонов. Результат статистического наблюдения сгруппирован и представлен в статистической таблице, которая называется дискретным вариационным рядом распределения (табл. 2).Требуется определить среднюю величину погрузки на один вагон.
Таблица 2
Распределение погруженных вагонов на станции по массе груза в них
Погружено тонн в один вагон ( ) |
Число вагонов ( ) |
Погружено тонн всего ( ) |
26 |
4 |
104 |
39 |
8 |
312 |
43 |
5 |
215 |
52 |
3 |
156 |
Итого: |
20 |
787 |
Решение. В этом случае необходимо использовать формулу средней арифметической взвешенной.
Расчёт средней арифметической по интервальному вариационному ряду распределения
Если признак изменяется в больших пределах, то вариационный ряд строится на основе выделения интервалов.
Когда данные статистического наблюдения представлены в сгруппированном виде и каждая группа задана интервалом, то средняя арифметическая определяется только по формуле средней арифметической взвешенной величины.
При этом в каждом интервале за конкретную варианту «x»принимают центральную варианту. Она представляет собой среднее арифметическое значение из нижней и верхней границ интервала.
Для открытых интервалов центральная варианта определяется следующим образом:
центральная варианта первого открытого интервала равна центральной варианте второго интервала минус величина второго интервала;
центральная варианта последнего открытого интервала равна суммецентральной варианты предпоследнего интервала и величины предпоследнего интервала.
Пример. По исходным данным (табл. 3) определить среднюю массу груза в поезде.
Таблица 3
Интервальный вариационный ряд распределения поездов, отправленных со станции, по массе груза
Группы поездов по массе груза, т( ) |
Число поездов ( ) |
до 2000 |
3 |
2000-2500 |
5 |
2500-3000 |
6 |
3000-3500 |
10 |
выше 3500 |
6 |
Итого: |
30 |
Решение. Для выполнения поставленной задачи заполним следующую таблицу 4:
Таблица 4
Расчётная таблица (для определения средней массы поезда)
Группы поездов по массе груза, т |
Число поездов ( ) |
Центральная варианта интервала ( ) |
Масса груза по группе, т ( ) |
Относительная величина структуры, % |
до 2000 |
3 |
1750 |
5250 |
10,00 |
2000-2500 |
5 |
2250 |
11250 |
16,67 |
2500-3000 |
6 |
2750 |
16500 |
20,00 |
3000-3500 |
10 |
3250 |
32500 |
33,33 |
выше 3500 |
6 |
3750 |
22500 |
20,00 |
Итого: |
30 |
- |
88000 |
100,00 |
Порядок выполнения расчётов:
Найти центральные варианты каждого интервала.
Найти произведение центральной варианты каждого интервала на его статистический вес.
Выполнить расчёт искомой величины по формуле средней арифметической взвешенной:
Определить относительные величины структуры. Тогда
=1750*0.1+2250*0.1667+2750*0.2+3250*0.33333+3750*0.2= 2933.33 т/ваг.
Определить (если требуется) относительные величины координации.