11.12. Определение коэффициентов регрессионной модели и проверка их значимости

Параметрами регрессионной модели являются коэффициенты регрессии , где — количество базисных функций. Значения коэффициентов регрессии можно получить, решив систему алгебраических уравнений (11.20). В этих уравнениях величина индекса d в обозначении базисных функций и коэффициента регрессии равна . Так как информационная матрица Фишера Ф для ПФЭ и ДФЭ диагональная (11.51) и все диагональные элементы ее одинаковы и равны N, то выражение для определения всех коэффициентов уравнения регрессии одинаково и имеет простой вид:

(11.69)

где N — число точек спектра плана; значение -ой базисной функции в -ой точке спектра плана; — выборочное среднее функции отклика в той же точке, определяемое по формуле (11.61).

Значения базисных функций для отдельных факторов равны , а для взаимодействия факторов — . С учетом этого на основе выражения (11.69) можно записать следующие формулы для вычисления значений коэффициентов уравнения регрессии:

для коэффициентов при факторах включая также свободный член уравнения,

(11.70)

для коэффициентов при взаимодействиях факторов

(11.71)

где n — количество факторов.

Формулы (11.70) и (11.71) применяются для планов перво­го порядка. Для плана ПФЭ , а ДФЭ . При определении коэффициента (свободного члена уравнения регрессии) .

Поскольку полученные значения коэффициентов регрессии — случайные числа, в связи с действием случайной помехи в процессе эксперимента, то они являются оценками истинных значений коэффициентов регрессии . Погрешность определения , оценивают дисперсией .

Дисперсии оценок всех коэффициентов регрессии, как показано в § 11.8 и 11.99, одинаковы. Величина дисперсии зависит только от ошибки воспроизводимости эксперимента и числа опытов

1 (11.72)

где т — число повторных опытов (значение т должно быть одинаковым для всех точек N спектра плана).

После определения коэффициентов регрессии , проверяют их значимость. Эта проверка осуществляется с использованием t-критерия Стыодента, значение которого находят из соотношения

(11.73)

где — общее число коэффициентов уравнения регрессии, равное количеству используемых базисных функций для построения регрессии.

Полученное значение для каждого коэффициента регрессии сравнивают с табличным , определяемым при принятом уровне значимости q и числе степеней свободы с которым определялась дисперсия воспроизводимости . Если , нулевая гипотеза о незначимости коэффициента , принимается и член уравнения регрессии, включающий этот коэффициент, исключается из математической модели. Если же , полагают, что данный коэффициент значимо (неслучайно) отличается от нуля и его следует сохранить в регрессионной модели. В этом случае значение коэффициента , больше ошибки опыта, которую можно оценить величиной доверительного интервала . Доверительный интервал находят по формуле

(11.74)

Следует, однако, отметить, что дисперсия воспроизводимости эксперимента зависит от очень многих факторов: выбора центра эксперимента, интервалов варьирования факторов, наличия экстремумов функции отклика в области планирования, соотношения величины отклика и помехи (так называемое отношение сигнал-шум) и др. В этой связи при небольшом различии между и , следует весьма осторожно относиться к оценке значимости коэффициентов регрессии. Лучше такие коэффициенты сохранить в модели, а влияние соответствующего фактора (или взаимодействия факторов) проверить в дальнейшем на более сложной модели или в иных условиях планирования эксперимента.

После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии приобретает вид

(11.75)

где — количество значимых коэффициентов регрессии.

Так как часть коэффициентов регрессии исключено из модели, то .

Если все коэффициенты оказались значимыми, суммирование в формуле (11.75) осуществляется до .