11. 11. Похідна неявно заданої функції

Нехай функція задана неявно у вигляді .

У деяких випадках рівняння, що задає функцію, можна розв’язати відносно y і знайти похідну звичайним способом. Але найчастіше дане нам рівняння елементарними засобами не приводиться до явного вигляду.

Обчислимо похідні обох частин рівності :

.

З останньої рівності одержимо:

. (3.16)

Нехай, наприклад, функція задана у вигляді .

Тоді або , звідки .

12. 12. Похідна функції, заданої параметрично

Нехай функція задана у вигляді:

При цьому функції і диференційовані, і функція має обернену . Тоді визначену параметрично рівняннями функцію можна розглядати як складну функцію , де , – проміжний аргумент.

За правилом диференціювання складної функції одержимо

.

На підставі теореми 3.3 , тому

. (3.17)

Приклад 3.8. Обчислити кутовий коефіцієнт дотичної до кола в точці, для якої .

Розв’язання. Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної в точці дорівнює значенню похідної в цій точці, знайдемо за формулою (3.17): , , . У точці, для якої , похідна набуває значення .

Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до кола в точці, для якої , .

13. 13. Похідні вищих порядків

Нехай дана функція . Її похідна у свою чергу є функцією від . Для неї також можна знайти похідну. Якщо вона існує, то вона називається похідною другого порядку і записується так: (читається “ігрек два штрихи від ”) або , або (читається “де два ігрек по де ікс двічі”). Таким чином, за означенням або .

Наприклад, для , .

Друга похідна має простий фізичний зміст. Якщо заданий закон прямолінійного руху , то, як відомо, – швидкість у момент часу . Тоді , але це швидкість зміни швидкості в даний момент , тобто прискорення.

Отже, – друга похідна шляху за часом є прискорення руху в даний момент часу .

Похідна від другої похідної називається третьою похідною чи похідною третього порядку.

Означення 3.3. Похідною -го порядку називається похідна від похідної -го порядку.

Ці похідні позначають або символами чи .

Приклад 3.9. Знайти похідну -го порядку для функцій

а) , б) .

Розв’язання. Маємо:

а) , , ..., .

б) , , , , ..., .

14. 14. Наближені обчислення за допомогою похідної

Теорема 3.4. Приріст функції і її диференціал є еквівалентними нескінченно малими при .

Дійсно, використовуючи означення еквівалентних нескінченно малих, одержуємо

.

Тут , оскільки є нескінченно малою при .

Можна стверджувати, що при досить малих значеннях :

. (3.18)

При розв'язанні багатьох задач приріст функції заміняють її диференціалом, що, звичайно, обчислити простіше. Виходячи з наближеної рівності (3.18) можна записати, що або

. (3.19)

Остання формула дає можливість приблизно обчислити значення функції для “незручного” значення аргументу , замінивши його “зручним” , при цьому у формулі – це різниця між заданим значенням аргументу і зручним для обчислення.

Приклад 3.10. Дана функція . Знайти приблизно .

Розв’язання. Приймемо , , тоді . На підставі формули (3.19) для даної функції складемо наближену рівність: . Оскільки , , , одержимо

.