
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
Якщо в усіх точках деякого проміжку друга похідна функції від'ємна, то графік функції на цьому проміжку випуклий; якщо друга похідна додатня, то графік функції на цьому проміжку увігнутий.
Рис. 3.16.
.
Теорема буде доведена, якщо встановимо,
що всі точки графіка функції на
розглянутому проміжку лежать нижче
дотичної, проведеної в деякій точці
цього проміжку (рис. 3.16).
Рівняння кривої
має вигляд
.
Нехай
– ордината змінної точки дотичної.
Рівняння дотичної до графіка функції
в точці
має вигляд
.
Оцінимо різницю
ординат точок кривої і дотичної для
одного й того ж
:
.
Застосувавши до
різниці
теорему Лагранжа, одержимо
,
де точка
лежить між точками
і
.Винесемо
за дужки загальний множник
і до виразу в дужках знову застосуємо
теорему Лагранжа, одержимо
,
де точка
лежить між
і
.
Якщо
то
,
,
за умовою
,
звідки випливає, що
або
,
тобто графік функції розташований під
дотичною. Якщо
,
то
,
,
за умовою
,
звідси випливає, що
або
,
тобто графік розташований під дотичною.
Аналогічно можна довести теорему для випадку, якщо друга похідна функції на проміжку додатня.
Очевидно, що в точці перегину дотична, якщо вона існує, перетинає криву, оскільки з одного боку від цієї точки крива лежить під дотичною, а з іншого боку – над нею (рис. 3.17, а, б)
Рис. 3.17.
Необхідна умова точки перегину.
Якщо точка є точкою перегину графіка функції, то функція в точці визначена, а друга похідна дорівнює нулю або не існує.
Необхідна умова
просто ілюструється графічно на рис.
3.17, а, б, але не є достатньою. Наприклад,
для функції
друга похідна
при
,
але в цій точці графік не має перегину,
оскільки крива увігнута на всій числовій
вісі.
Достатні умови точки перегину.
Якщо функція визначена в точці , двічі диференційована в околі точки і при переході через точку друга похідна змінює знак, то точка є точкою перегину.
Дійсно, якщо
при
і
при
,
то ліворуч точки з абсцисою
графік функції є випуклим, а праворуч
точки – увігнутим. Отже, точка
є точкою перегину графіка функції.
Аналогічно описується випадок, коли
при
і
при
.
Очевидно, що в точці друга похідна функції дорівнює нулю (рис. 3.17, а) або не існує (рис. 3.17, б).
Можна запропонувати такий алгоритм знаходження проміжків випуклості, увігнутості і точок перегину графіка функції.
1. Знайти область визначення функції.
2. Знайти першу і другу похідні функції.
3. Знайти точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує.
4. Область визначення знайденими точками розбити на проміжки і дослідити знак другої похідної на кожному з проміжків.
Якщо на проміжку , то це проміжок увігнутості, якщо , то це проміжок випуклості. Точки перегину при цьому розділяють проміжки випуклості й увігнутості.
Зауважимо, що можна при дослідженні розглядати похідні вищих порядків.
Приклад
3.22. Знайти
проміжки випуклості, увігнутості і
точки перегину графіка функції
(крива Гауса).
Розв’язання.
Відзначимо, що функція визначена на
всій числовій прямій. Для неї
,
.
Друга похідна обертається в нуль, якщо
,
звідки
,
.
Зміна знака другої похідної показана
на рис. 3.18.
Рис. 3.18.
Очевидно, що точки
з абсцисами
і
є точками перегину графіка функції. При
цьому