7.5. Подходящие дроби

Вполне очевидно, что [t₀,t₁,t₂, …, t_k], для каждого к представляет собой действительное число. Запишем первые четыре подходящие дроби и упростим их, выразив каждую как отношение двух действительных чисел, где как числитель, так и знаменатель выражены через t_i. Особый интерес будут представлять чис­литель и знаменатель каждой из подходящих дробей.

где р₂ = p₁t₁ + p₀ и q₂ = q₁t₂ + q₀ Подобным образом вычисляем

где р₃ = p₂t₃ + p₁ и q₃ = q₂t₃ + q₁ в каждом случае число [t₀,t₁,t₂,…,t_k] “переформировывается" из представления цепной дробью без какого-либо "сокра­щения" и образует отношение двух полиномов Р и Q в переменных t₀,t₁,t₂, …, t_k , т.е.

Справедливым является и то, что q₀,q₁,q₂ и q₃ положительны, поскольку получе­ны путем умножения и сложения положительных чисел. Рассмотренные примеры дают основание сформулировать следующую теорему.

ТЕОРЕМА 7.11. Пусть n — неотрицательное целое число и t₀,t₁,t₂,…,t_n] — конечная цепная дробь, которая рекурсивно определяет конечные последователь­ности p₀ ,p₁ … p_n и q₀ ,q₁ … q_n следующим образом:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Не представляет труда методом математической индукции показать, что q_k > 0 при 0 ≤ k ≤ n. Эту часть теоремы предоставляем доказать читателю. Выше было показано, что теорема справедлива при к = 0,1 и 2, т.е. [t₀] = p₀ /q₀ [t₀,t₁] = p₁ /q₁, [t₀,t₁,t₂] = p₂ /q₂ Предположим, что 2 ≤ k < n, и для любой цепной дроби [b₀,b₁,b₂, …, b_k] и любого j 0 ≤ j ≤ k справедливо утверждение о том, что [b₀,b₁,b₂, …, b_j] = р_j'/q_j'. где р_j' и q_j' определены способом, аналогичным (а)-(с), но для цепной дроби [b₀,b₁,b₂, …, b_m] Тогда

Поскольку b_i = t_i при 0 ≤ i ≤ к - 1, имеем, что для таких i p_i = р_i' и q_i = q'_i. Подставляя соответствующие выражения для b_k, р_i' и q_i’, получаем

Следовательно, по индукции, [t₀,t₁,t₂,…,t_k]= p_k/q_k при 0 ≤ k ≤ n.

Числа p_k и q_k (теорема 7.11) определены вне зависимости от того, что они могут быть использованы как числитель и знаменатель выражения, равного k-ой подходящей дроби. Рекурсивное отношение, заданное теоремой 7.11, обеспечива­ет быстрый способ вычисления подходящих дробей для заданной цепной дроби, поскольку числитель р, и знаменатель p_i можно вычислить одновременно и до­статочно просто. Например, для х = [-4; 2,5,2,1] =[t₀,t₁,t₂,t₃,t₄] подходящие дроби можно вычислить согласно приведенной ниже таблице:

Так что х = -124/35, т.е. числу, породившему цепную дробь [—4; 2,5,2,1] (см. раздел 5.1).

Благодаря рекурсивному способу задания цепных дробей, имеется значи­тельное количество соотношений, связывающих подходящие дроби через числи­тели и знаменатели, р_k и q_k, введенные теоремой 7.11. Чтобы запись этих соотно­шений сделать справедливой при k = 0, зачастую удобно определять р_k и q_k при k = -1, положив

Таким образом, р₁ = p₀t₁ +p_-1 = t₀t₁ + 1 и q₁ = q_ot₁ + q_-1 = 1• t₁ +0 = t₁, как в теореме 7.11.

ТЕОРЕМА 7.12. Если t₀,t₁,t₂,…,t_n] - конечная цепная дробь, где t_i — действи­тельные числа, p_k и q_k— заданы теоремой 7.11, тогда

г) Подходящие дроби четного порядка образуют возрастающую последователь­ность, т.е.

а подходящие дроби нечетного порядка образуют убывающую последова­тельность, т.е.

при 0 ≤ j ≤ [n/2] и 0 ≤ i ≤ [(n - 1)/2], где слева равенство имеет место, когда n четное, а справа равенство имеет место, когда п нечетное.

д) Если дробь [t₀;t₁,…,t_n] — простая, то q_k ≥ k при 0 ≤ k ≤ n.

е) Если дробь [t₀;t₁,…,t_n] — простая, то q_k < q_k+1 при 1 ≤ k ≤ n-1 и q₀ ≤ q₁

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) При k = 1 p₁q₀ – p₀q₁ = (t₁t₀ + 1)(1) - t₀t₁ = 1 = (-1)^1-1 по теореме 7.11. Пусть 2 ≤ m < n и допустим, что формула в части (а) справедлива при k = m. Показано, что формула имеет место при k = т + 1. Опять, используя теорему 7.11, имеем

Таким образом, формула в части (а) имеет место при 1 ≤ k ≤ п. Также p₀q_-1 – q_op_-1 =t₀•0- 1•1 = -1 и формула справедлива при k = 0.

б) Утверждение теоремы следует из части (а), если в соответствующем равенстве при k ≥ 1 произвести деление на q_kq_k-1 .

в) Если k ≥ 2, то по теореме 7.11

Умножение первого из равенств на q_k-2, а второго — на p_k-2 дает

Вычитая второе равенство из первого, получаем

Теперь, учитывая утверждение в части (а), получаем

Разделив на q_kq_k-2 > 0, получаем желаемый результат:

г) Если 2 ≤ k ≤ n и k— четное, то k — 2 тоже четное и k — 2 ≥ 0. Поэтому (-1)^k = 1 и из утверждения в части (в) вытекает, что

поскольку t_k и q_kq_k-2 положительные при к ≥ 1. Если 3≤ k<n н k — нечетное, то k - 2 также нечетное и k - 2 ≥ 1. В этом случае (-l)^k = -1, так что из утверждения в части (в) вытекает, что

так как t_к и q_kq_k-2положительны при к ≥ 3.

Если n нечетное, то согласно (б) так что [t₀,t₁,t₂, …, t_n] =

P_n/q_n больше, чем наибольшая подходящая дробь четного порядка, P_n-1/q_n-1 Если п четное, то так что [t₀,t₁,t₂, …, t_n] = P_n/q_n меньше, чем P_n-1/q_n-1 наименьшая подходящая дробь нечетного порядка, P_n-1/q_n-1

Доказательство пунктов (д) и (е) оставляем за читателем.

Подходящие дроби для х = [-4; 2,5,2,1] вычислены ранее в данном разделе и приведены в таблице. Подводя итог этим результатам в контексте части (г), находим, что

Непосредственным вычислением определяем также, что

Значение теоремы 7.12 состоит в том, что она точно устанавливает, что последовательные и взаимно исключающие подходящие дроби могут отличать­ся не более, чем на величину, обратно пропорциональную “знаменателям" под­ходящих дробей, а также, что подходящие дроби альтернативно больше, чем [t₀,t₁,t₂, …, t_n]. И меньше, чем [t₀,t₁,t₂, …, t_n]

Практический интерес представляют некоторые отношения P_n/q_n числите­лей и знаменателей подходящих дробей. Эти отношения приведены в следующей теореме, доказательство которой предоставляется читателю.

ТЕОРЕМА 7.13. Для конечной цепной дроби t₀,t₁,t₂, …, t_n]