2.2. Непрерывность функции. Точки разрыва

Первый замечательный предел: . Следствия 1. . 2. . 3. . 4. .

Второй замечательный предел: . Следствия 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

Некоторые значения пределов функций

1. .	2. .	3. .	4.
5. .	6. .	7. .	8. .
9. .	10. .	11. .	12. .
13. .	14.	15. .	16. , ( – нечетное).

Функция непрерывна в точке , если .

Точки, в которых функция не определена или определена, но не является непрерывной, – точки разрыва: 1) первого рода – с конечным скачком; 2) второго рода – с бесконечным скачком и др.

2.3 Производные высших порядков

Производная функции в точке : .

Правила вычисления производных , , ,

Сложная функция имеет производную в точке : .

1. .	2. .	3. , .
4. .	5. , .	6. , .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .

Пример. .

Производная второго порядка (вторая производная) – производная от производной .

Производная -го порядка: . Пример. , , .

2.4 Приложения дифференциального исчисления фоп

Уравнение касательной к графику функции в точке : .

Нормаль к графику функции в точке – прямая, перпендикулярная к касательной к графику функции в точке касания.

Уравнение нормали к графику функции в точке : .

Геометрический смысл производной функции в точке – это тангенс угла наклона к положительному направлению оси касательной к графику этой функции в точке .

Если на интервале ( ), то на этом интервале функция строго возрастает (убывает).

Пример. Составить уравнения касательной и нормали к графику в точке .

1) Вычислим . 2) Вычислим .

3) Составим уравнение касательной: или .

4) Составим уравнение нормали: или .

Условия экстремума

1. Если при переходе через слева направо меняет знак с + на -, то в точке имеет максимум.

2. Если при переходе через слева направо меняет знак с - на +, то в точке имеет минимум.

3. Если при переходе через точку слева направо производная не меняет знак, то в точке функция не имеет экстремума.

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции .

1) Найдем производную функции .

2 ) Производная функции обращается в нуль в точке и не существует в точках и . При переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, в этой точке функция имеет локальный максимум. При переходе через точки и производная знака не меняет.

3) . Итак, функция возрастает на и , убывает на , , – точка локального максимума, .

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1) Найти производную функции . 2) Найти критические точки функции.

3) Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

4) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Записать ответ.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. 1) .

2) Критические точки функции:

3) В критических точках , ; на концах отрезка , .

Итак, наибольшее значение функции , наименьшее .

Если ( ), то есть производная возрастает (убывает) в каждой точке интервала , то на этом интервале функция является выпуклой вниз (вверх).

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей или : .

Пример. .

Пример. .