2.2 Теорема Абеля 1

Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда .

Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество

(где ); вычтем его почленно из тождества

.

Полагая , Придем к тождеству

(4)

Так как то по произвольно заданному найдется такой номер , что , лишь только .

Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы

Вторая оценивается сразу и независимо от :

Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости к 1 будет

так что окончательно что и доказывает утверждение.

Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела

, (5)

вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда ( ), т.е. о существовании для него суммы в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.

2.3 Теорема Таубера

Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что

(6)

то и

Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала

предположим, что Если положить то при величина , монотонно убывая, стремится к нулю.

Имеем при любом натуральном N

так что:

Взяв произвольно малое число , положим

Так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее x было настолько близко к 1, что

. Тогда

Что и доказывает утверждение теоремы.

К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим

так что

и затем

(7)

Но из предположения теоремы, т.е. из того, что при , легко получить, что

. (8)

Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:

и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.

Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и

С другой стороны,

Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю

Что и завершает доказательство теоремы.

Глава 3. Метод средних арифметических

3.1 Суть метода

Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу, но связывают его обычно с именем Чезаро, который дал методу дальнейшее развитие.

По частичным суммам данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические

Если варианта при имеет предел А, то это число и называют “обобщенной (в смысле Чезаро) суммой” данного ряда.

Примеры.1) Возвращаясь к ряду

Имеем здесь

так что . Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона-Абеля.

2) Для ряда . Частичные суммы будут (если только )

Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:

Итак, окончательно

Очевидно, : для значений “обобщенной суммой” и здесь служит 0.

3) Наконец, пусть снова предложен ряд

Имеем при ,

и затем

Отсюда ясно, что

Во всех случаях по методу Чезаро получилась та же “обобщенная сумма", что и выше, по методу Пуассона-Абеля. Оказывается это не случайность.