1.2 Истоки проблемы

Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость, произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможности суммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.

Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике.

Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл.

Вспомним, опять, наш колеблющийся ряд

Еще со времен Лейбница в качестве "суммы" приписывалось число . Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения

(которое в действительности имеет место лишь для ) при подстановке вместо х единицы как раз и получается

В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (где п и т - любые, но )

получить одновременно

Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение “обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение “обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.

Во-первых, если ряду приписывается “обобщенная сумма" А, а ряду - “обобщенная сумма" В, то ряд , где p, q - две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы" число . Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.

Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперь непосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов ‘обобщенного суммирования".

Глава 2. Метод степенных рядов

2.1 Суть метода

Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.

По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд

(1)

Если этот ряд для сходится и его сумма при имеет предел А:

,

то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:

Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого при стремится к пределу . Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.

2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд

(2)

является расходящимся при всех значениях

Действительно, если имеет вид , где и - натуральные числа, то для значений , кратных , будет , так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби , будем иметь, как известно,

откуда

Таким образом, для бесконечного множества значений

, так что .

Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:

(здесь буква заменяет прежнюю букву ), то его сумма при значении , отличном от 0, будет

(3)

и при стремится к 0. Таким образом, для “обобщенной суммой” ряда будет 0. если , то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную ; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к , также имеет пределом .

3) Аналогично ряд

,

который сходится лишь при или , приводит к степенному ряду

.

Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной при и равной нулю при .

Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.