Тема 1. Пределы последовательностей и функций

Пример 1. Используя определение предела, показать,что (найти ).

Решение. Обозначим . Пусть задано >0, рассмотрим неравенство < . Оно равносильно . Следовательно, можно положить

(1)

Здесь через [x] обозначено наибольшее целое число, непревосходящее x.

Пример 2. Используя определение предела, показать что Найти

.

Решение. Воспользуемся неравенствами.

Получим

. (2)

Пусть задано . Найдем такое , чтобы при выполнялось неравенство . Из решения примера 1 следует, что может быть определено согласно (1). Учитывая неравенство (2), заключаем, что при выполняется требуемое неравенство

.

Пример 3. Найти предел ; .

Решение. Имеем неопределенность вида . Выполним следующие преобразования

= .

Итак, искомый предел равен нулю.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, находим

.

Пример 5. Найти предел .

Решение. Умножив числитель и знаменатель (знаменатель равен 1) на ,

находим

.

Пример 6. Найти предел .

Решение. Предел найден в примере 1. Второе слагаемое, стоящее под знаком предела, можно рассматривать как произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой Следовательно, второе слагаемое является бесконечно малой последовательностью и предел ее равен нулю. Окончательно

.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел 7. Найти предел ; .

Решение. Разделим и числитель и знаменатель выражения, стоящего здесь под знаком предела, на - наивысшую степень этих многочленов. Получим

= .

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.

Пример 8. Найти предел ; .

Решение.

= .

Если и - многочлены и , то при отыскании предела рекомендуется разделить один или несколько раз числитель и знаменатель на .

Пример 9. Доказать (найти ) равенство: ; .

Решение. Сократив числитель и знаменатель на , приходим к рассмотрению предела при функции . Затем для находим: . Следовательно, .

Выражения, содержащие иррациональности, во многих случаях приводятся к рациональному виду путем введения новой переменной.

Пример 10. Найти ; .

Решение. Введем новую переменную . Тогда

= .

Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

Пример 11. Найти , ; .

Решение.

= .

Пределы функций, содержащих тригонометрические выражения, часто ищут с помощью первого замечательного предела. Этот предел удобно представить в виде где - функция независимой переменной и при . Первый замечательный предел используют для раскрытия неопределенностей вида .

Пример 12. Найти предел ; .

Решение. Учитывая формулу , находим:

= .

Пример 13. Найти предел ; .

Решение. Введем новую переменную : . Тогда , , и

= .

Если ищется предел функции при , то для удобства можно перейти к новому аргументу , предел которого равен нулю при .

Пример 14. Найти предел ; .

Решение. Положим , тогда

= = .

Для раскрытия неопределенностей вида используют второй замечательный предел. Данный предел запишем в виде , где при ; или , если при . Здесь - функция независимой переменной

Пример 15. Найти ; .

Решение. Имеем

= = .

Пример 16. Найти .

Решение. Учитывая свойства логарифмов, находим

= .

Здесь мы воспользовались тем, что если существует и положителен , то .

Пример 17. Найти ; .

Решение. Воспользуемся известными равенствами (следствиями второго замечательного предела)

; .

Для этого введем новую переменную . Находим

= .

Пример 18. Найти ; .

Решение.

= .

Для упрощения выкладок при нахождении пределов часто пользуются эквивалентностью функций. Напомним, что функция эквивалентна функции при (в этом случае пишем при ), если . Известно, что из соотношения при следует равенство или оба эти предела не существуют. Таким образом, при вычислении предела произведения один из сомножителей или (или оба) в этом произведении можно заменить эквивалентной функцией. Пользуясь этим свойством, решение предыдущего примера записывается короче:

= = .

Здесь мы применили известные эквивалентности при : .

Пример 19. Найти ; .

Решение. В силу эквивалентности при , имеем

= .

Внимание! Одна из самых распространенных ошибок при вычислении предела некоторого выражения заключается в замене функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы). Если, например, в последнем примере заменить функцию эквивалентной при функцией и функцию эквивалентной функцией , то получим , что не совпадает с ранее полученным верным результатом, то есть является неверным решением.

В заключение скажем несколько слов о поиске предельных значений степенно-показательных выражений. При нахождении пределов вида можно воспользоваться следующим общим подходом:

1) если существуют конечные пределы , то ;

2) если , , то вопрос о нахождении предела решается непосредственно, исходя из свойств показательной функции (в частности, если >1, а , то ; если , , то и т. д.);

3) : если и , то, полагая , где при , получим

;

4) : , , ;

5) : , .

Неопределенности типа 4 и 5 приводятся к неопределенности типа 3 следующим образом. Положим , . Очевидно, и . Кроме того,

.

Пример 20. Найти ; .

Решение. Имеем

.

Поэтому

.

Контрольные задания к теме 1. «Пределы последовательностей и функций»

Задание 1. Доказать, что (указать ):

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21.

1.22.

1.23.

1.24.

1.25.

1.26.

1.27.

1.28.

1.29.

1.30.

Задание 2: Вычислить пределы числовых последовательностей.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

Задание 3: Вычислить пределы числовых последовательностей.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

Задание 4: Вычислить пределы числовых последовательностей.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

Задание 5: Вычислить пределы числовых последовательностей.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

5.30.

Задание 6: Вычислить пределы числовых последовательностей.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

6.27.

6.28.

6.29.

6.30.

Задание 7: Доказать (найти ), что:

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

7.11.

7.12.

7.13.

7.14.

7.15.

7.16.

7.17.

7.18.

7.19.

7.20.

7.21.

7.22.

7.23.

7.24.

7.25.

7.26.

7.27.

7.28.

7.29.

7.30.

Задание 8: Вычислить пределы функций.

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8.25.

8.26.

8.27.

8.28.

8.29.

8.30.

Задание 9: Вычислить пределы функции.

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.

9.12.

9.13.

9.14.

9.15.

9.16.

9.17.

9.18.

9.19.

9.20.

9.21.

9.22.

9.23.

9.24.

9.25.

9.26.

9.27.

9.28.

9.29.

9.30.

Задание 10: Вычислить пределы функций.

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

10.7.

10.8.

10.9.

10.10

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27.

10.28.

10.29.

10.30.

Задание11: Вычислить пределы функций.

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25.

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

Задание 12: Вычислить пределы функций.

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.

12.16.

12.17.

12.18.

12.19.

12.20.

12.21.

12.22.

12.23.

12.24.

12.25.

12.26.

12.27.

12.28.

12.29.

12.30.

Задание 13: Вычислить пределы функций.

13.1.

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

13.8.

13.9.

13.10.

13.11.

13.12.

13.13.

13.14.

13.15.

13.16.

13.17.

13.18.

13.19.

13.20.

13.21.

13.22.

13.23.

13.24.

13.25.

13.26.

13.27.

13.28.

13.29.

13.30.

Задание 14: Вычислить пределы функций.

14.1.

14.2.

14.3.

14.4.

14.5.

14.6.

14.7.

14.8.

14.9.

14.10.

14.11.

14.12.

14.13.

14.14.

14.15.

14.16.

14.17.

14.18.

14.19.

14.20.

14.21.

14.22.

14.23.

14.24.

14.25.

14.26.

14.27.

14.28.

14.29.

14.30.

Задание 15: Вычислить пределы функций.

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5.

15.6.

15.7.

15.8.

15.9.

15.10.

15.11.

15.12.

15.13.

15.14.

15.15.

15.16.

15.17.

15.18.

15.19.

15.20.

15.21.

15.22.

15.23.

15.24.

15.25.

15.26.

15.27.

15.28.

15.29.

15.30.

Задание 16: вычислить пределы функций.

16.1.

16.2.

16.3.

16.4.

16.5.

16.6.

16.7.

16.8.

16.9.

16.10.

16.11.

16.12.

16.13.

16.14.

16.15.

16.16.

16.17.

16.18.

16.19.

16.20.

16.21.

16.22.

16.23.

16.24.

16.25.

16.26.

16.27.

16.28.

16.29.

16.30.

Задание 17: Вычислить пределы функций.

17.1.

17.2.

17.3.

17.4.

17.5.

17.6.

17.7.

17.8.

17.9.

17.10.

17.11.

17.12.

17.13.

17.14.

17.15.

17.16.

17.17.

17.18.

17.19.

17.20.

17.21.

17.22.

17.23.

17.24.

17.25.

17.26.

17.27.

17.28.

17.29.

17.30.

Задание 18: Вычислить пределы функций.

18.1.

18.2.

18.3.

18.4.

18.5.

18.6.

18.7.

18.8.

18.9.

18.10.

18.11.

18.12.

18.13.

18.14.

18.15.

18.16.

18.17.

18.18.

18.19.

18.20.

18.21.

18.22.

18.23.

18.24.

18.25.

18.26.

18.27.

18.28.

18.29.

18.30.