Тема 9.Хвилі. Елементи хвильової оптики.

7.Експериментальне одержання електромагнітних хвиль. Диференціальне рівняння електромагнітної хвилі

З рівнянь Максвелла

,

можна отримати рівняння плоскої елек­тромагнітної хвилі.

Припустимо, що в тому місці, де збуджується електромагнітне поле, вектор весь час залишається паралельним до координатної осі , тоді , , а вектор паралельний до координатної осі OY і , .

Оскільки в рівняннях Максвелла контури можуть бути довільної форми і розмірів, то для першого з рівнянь виберемо елементарний контур , що лежить в площині , а для другого – контур , що лежить в площині (рис. 206).

Вектори і є функціями координат і часу, тому їх значення в різних місцях контурів будуть різними. Наприклад, якщо в точці вектор має значення , то в точці з координатою його значення дорівнюватиме:

,

де частинна похідна характеризує швидкість зміни в напрямку осі .

Розрахуємо . На ділянках Oа і bс добуток , оскільки вектор перпендикулярний до Oа і bс. Для ділянок аb і Oс помножимо довжину кожної з цих ділянок на середнє значення вектора в межах цих ділянок; оскільки на ділянці cO вектор напрямлений проти обходу, то отримаємо

,

де – площа, яка охоплена контуром.

Тоді

. Звідси

.

Аналогічний розрахунок для другого рівняння і контуру дає такий результат

.

Розрахуємо частинні похідні за часом від і за координатою від , вважаючи і сталими величинами.

, .

Звідси отримуємо хвильове рівняння для : . Аналогічно, беручи частинні похідні по координаті від і по часу від , отримуємо хвильове рівняння для : .

Отже, змінне електромагнітне поле поширюється в просторі у вигляді електромагнітної хвилі.

. 8. Енергія електромагнітної хвилі.

Електромагнітне поле має енергію. Тому поширення електромагнітних хвиль пов’язане з перенесенням енергії в полі, подібно до того, як поширення пружних хвиль у речовині пов’язане з перенесенням механічної енергії.

Об’ємна густина енергії електро­магнітної хвилі складається з об’ємних густин і електричного, і магнітних полів: . Враховуючи вираз , отримаємо, що густина енергії електричного і магнітного полів в кожен момент часу однакова, тобто . Тому

.

У випадку плоскої лінійно-поляри­зованої монохроматичної хвилі, що поширюється вздовж додатного напрямку осі ОХ, напруженість поля

.

Відповідно об’ємна густина енергії цієї хвилі . Значення w в кожній точці поля періодично змінюється з частотою в границях від 0 до . Середнє значення w за період пропорційне до квадрата амплітуди напруженості поля:

.

Помноживши густину енергії w на швидкість поширення хвилі в середовищі, отримуємо модуль густини потоку енергії.

Модуль густини потоку енергії числово дорівнює енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиницю площі поверхні, що розміщена перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:

.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні і утворюють з напрямком поширення хвилі правогвинтову систему, то напрямок вектора збігається з напрямком переносу енергій, а модуль цього вектора дорівнює EH. Отже, вектор густини потоку енергії електромагнітної хвилі, який називається вектором Пойнтінга, дорівнює: .

Потік Ф електромагнітної енергії через деяку поверхню S можна знайти за допомогою інтегрування: .

Інтенсивність електромагнітної хвилі I дорівнює модулю середнього значення вектора Пойнтінга за проміжок часу, який дорівнює періоду Т повного коливання: .

Інтенсивність біжучої монохроматичної хвилі .

Інтенсивність плоскої лінійно поляризованої монохроматичної біжучої хвилі прямо пропорційна до квадрата амплітуди коливань вектора поля хвилі

9.Особливості світлових хвиль

Згідно хвильової (електромагнітної) теорії світлове випромінювання – це електромагнітні хвилі, довжини яких лежить в межах від 0,38 до 0,77 мкм. Згідно з корпускулярної (фотонної) теорії світлове випромінювання – це потік особливих частинок – фотонів, які мають енергію, масу і імпульс.

Інтерференцією світла називається перерозподіл інтенсивності світла в просторі внаслідок накладання двох або кількох когерентних хвиль, в результаті чого в одних місцях виникають максимуми, а в інших мінімуми інтенсивності.

Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту коливання і в точках накладання – сталу різницю фаз.

Отже, якщо хвилі когерентні, то спостерігається самоузгоджений перебіг в часі і просторі декількох хвильових процесів. Цю умову задовольняють монохроматичні хвилі – хвилі однієї строго визначеної частоти і сталої амплітуди.

Хвилі, які випромінюються незалежними джерелами світла, некогерентні. Цей результат є наслідком того, що жодне джерело не випромінює точно монохроматичного світла.

Просторово-когерентними називаються два джерела, розміри і взаємне розміщення яких при необхідному ступені монохроматичності світла дозволяють спостерігати інтерференційні смуги.

Довжиною просторової когерентності або радіусом когерентності називається відстань між двома точками перпендикулярної до напрямку поширення хвилі поверхні, між якими випадкова зміна різниці фаз досягає значення рівного . На відстані можна спостерігати явище інтерференції. Просторова когерентність визначається радіусом когерентності

,

де – довжина світлових хвиль, – кутовий розмір джерела.

Добуток геометричної довжини шляху, що проходить світлова хвиля в середовищі, на показник n заломлення середовища називається оптичною довжиною шляху , а різниця оптичних довжин шляхів , що пройшли хвилі, називається оптичною різницею ходу.

Для отримання когерентних світлових хвиль застосовують метод розділення хвилі, що випромінюється одним джерелом, на дві частини, які після проходження різних оптичних шляхів накладаються одна на одну і в результаті спостерігається інтерференційна картина.

Якщо оптична різниця ходу світлових променів дорівнює парному числу півхвиль

, (2.1)

де - довжина світлової хвилі у вакуумі, то в точці спостереження інтерференційної картини буде максимум інтенсивності світла.

Мінімум інтенсивності світла буде в точках, для яких оптична різниця ходу променів вміщає непарне число півхвиль

. (2.2)

Когерентність способи здійснення інтерференції світла. Шахтні інтерферометри.

Отримання когерентних хвиль за допомогою біпризми Френеля

Одна з оптичних схем отримання когерентних хвиль здійснюється за допомогою біпризми Френеля. Для цього використовується заломлення світла від одного точкового джерела S в двох призмах з малим заломлюючим кутом , які мають спільну основу (рис. 2.1). Така біпризма може бути також виготовлена з цільного матеріалу. Заломлюючий кут біпризми є малим, внаслідок чого промені відхиляються біпризмою на однаковий кут:

,

де n – показник заломлення скла, з якого виготовлена біпризма.

Джерело світла S розміщають на відстані від основи біпризми.

Як видно з рис. 2.1, при проходженні світла через верхню і нижню половини біпризми світлова хвиля розділяється на дві когерентні хвилі, які ніби виходять з точок і – уявних зображень джерела (при малому куті заломлення біпризми уявні джерела і практично знаходитимуться на такій самій відстані від біпризми, що й джерело ).

При малому значенні кута відстань між джерелами і можна визначити таким чином:

. (2.3)

Якщо на шляху інтерферуючих пучків поставити екран , то в його площині буде спостерігатися чергування темних і світлих смуг.

Положення інтерференційних максимумів і мінімумів на екрані можна визначити, якщо скористатися рис. 2.2. Оскільки і – уявні зображення джерела , то їх розглядають як два когерентні точкові джерела. Результат інтерференції світлових хвиль, які доходять до деякої точки M на екрані E від джерел і , визначатиметься їх оптичною різницею ходу

,

де - показник заломлення середовища; і – відстані від уявних зображень джерел і , відповідно.

Якщо = , то в точці M буде спостерігатися інтерференційний максимум. Якщо ж = , то в точці буде інтерференційний мінімум. При інших значеннях інтенсивність світла в точці М матиме проміжне значення.

Відстань між центральним максимумом і максимумом –го порядку з врахуванням того, що для малих значень кута , дорівнює: , (2.4)

де L - відстань щілини до екрану, а . З рівняння (2.4) отримуємо: . (2.5)

Якщо значення d з рівняння (2.3) підставити в (2.5), то довжину хвилі випромінювання можна визначити за формулою:

. (2.6)

Отримати когерентні хвилі можна також іншими методами: наприклад: методами білінзи Френеля, дзеркала Ллойда та ін.