Решение
Выберем
по аргументу х
шаг
.
Шаг по
выберем
.
Записываем в таблицу 3.1 начальные и
краевые значения. Учитывая их симметрию,
заполняем таблицу только для
.
Значения функции
на
первом
слое находим, используя значения на
начальном слое и краевые условия, по
формуле
.
Так,
при
.
Таким
образом, получаем
,
и
т.д.
Записываем
полученные значения
во вторую строку таблицы 3.1.
После
этого переходим к вычислению значений
на втором слое по формуле
.
Подобным
образом определяем последовательно
значения
при
.
В
двух последних строках таблицы 3.1
приведены значения точного решения
задачи и модуля разности
при
,
что говорит о точности предложенного
метода.
Таблица 1.
-
i
x
t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
1
2
3
4
5
0
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,025
0,025
0
0
0
0
0
0
0
0
0,3090
0,2939
0,3795
0,2658
0,2528
0,2404
0,2414
0,0010
0,5878
0,5590
0,5316
0,5056
0,4808
0,4574
0,4593
0,0019
0,8090
0,7699
0,7318
0,6959
0,6619
0,6294
0,6321
0,0027
0,9511
0,9045
0,8602
0,8182
0,7780
0,7400
0,7454
0,0031
1,0000
0,9511
0,9045
0,8602
0,8182
0,7780
0,7813
0,0033
Пример
3.2.
Методом прогонки найти решение уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
,
.
Решение
Возьмем
,
и
.
Найдем
значения
на слое
.
Прямой
ход. Записываем в строке
таблицы 3.2 значения функции
,
находим по формулам
;
,
,
при
j
= 0 числа
.
Запишем по формулам
,
при
и
т.д.
Результаты вычислений представлены в таблице 3.2.
Значения
откуда
.
Таблица 3.2.
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
ui,0 ai,1 bi,1 ui,1
|
0
0 |
0,360 0,333 0,360 0,310 |
0,640 0,375 0,760 0,572 |
0,840 0,381 1,125 0,764 |
0,960 0,382 1,389 0,882 |
1,000 0,382 1,530 0,921
|
0,960 0,382 1,544 0,882 |
0,840 0,382 1,430 0,764 |
0,640 0,382 1,186 0,571 |
0,360 0,382 0,813 0,310 |
0
0
|
Обратный
ход. Из краевых условий получаем
.
Значения
вычисляются по формулам
при
………………………………………………………
.