4 Сила гідростатичного тиску рідини на криволінійні поверхні. Закон архімеда

Величина сили тиску рідини на криволінійні поверхні (циліндр, куля, конус та ін.) рівна геометричній сумі горизон­тальних та вертикальних складових

(4.1) або _{; ; .}

Для симетричних криволінійних стінок (труба, цистерна, резервуар та ін). достатньо знати одну із горизонтальних складових сили тиску на криволінійну поверхню. Тоді в сис­темі координат

(4.2)

Горизонтальна складова сили тиску на криволінійну по­верхню стінки рівна добутку надлишкового тиску в центрі тяжіння проекції криволінійної поверхні на вертикальну пло­щину на площу цієї проекції

(4.3)

або

(4.4)

У формулах (4.3), (4.4):

- проекція криволінійної поверхні на вертикальну площину, перпендикулярну до осі ох ;

- глибина занурення центра тяжіння проекції криво­ лінійної поверхні на вертикальну площину;

- абсолютний тиск в центрі тяжіння цієї проекції, - атмосферний тиск.

61

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Вертикальна складова сили тиску на криволінійну стінку дорівнює вазі рідини в об'ємі так званого "тіла тиску", утво­реного даною криволінійною поверхнею, її проекцією на ві­льну (або п'єзометричну) поверхню і вертикальними направ­ляючими цієї проекції

(4.5)

Тут - об'єм тіла тиску.

Залежно від розташування криволінійної поверхні відно­сно рідини напрям цієї сили може бути позитивним (вниз), або негативним (вгору).

Якщо рідина знаходиться над криволінійною стінкою (ри­сунок 4.1), то вертикальна скла­дова буде напрямлена вниз; як­що ж рідина знаходиться під сті­нкою (рисунок 4.2), вертикальна складова буде напрямлег.а вгору. При цьому в першому випадку об'єм рідини тіла тиску є дійс­ним, а в другому - фіктивним, і вертикальна складова сили тиску на криволінійну поверхню за аб­солютним значенням рівна архі-медовій силі.

Напрям рівнодійної сили тиску визначається кутом

Рисунок 4.2

Закон Архімеда

Сила, що діє на занурене в рідину тверде тіло, визнача­ється як рівнодійна сил тиску, які діють на його поверхні.

Рівнодійна сила тиску напрямлена знизу вгору і дорів­нює вазі рідини, витісненої тілом

62

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Таким чином, занурене в рідину чверде тіло перебуває під дією двох сил: сили ваги зануреного в рідину тіла і виштовхувальної сили F= - , тобто вага тіла всередині рідини виражається рівнянням

що і відображає закон Архімеда. При цьому можуть бути три випадки:

1) G>F -тіло затоне;

2) G=F- тіло буде перебувати в стані байдужої рівноваги;

3) G<F - тіло випливатиме на поверхню.

Питання для самоперевірки

1. Як визначається сила тиску да криволінійну поверхню?

2. Чому дорівнює горизонтальна складова сили тиску на кри­волінійну поверхню?

3. Визначити напрям вектора рівнодійної сили тиску на кри­волінійну поверхню.

4. Дайте визначення тіла тиску.

5. Сформулюйте закон Архімеда.

Приклади задач з розв'язком

Задача 4.1 Визначити силу тиску води на кожну з півкульових кришок люків, які закривають отвори діаметром = 0,5 м, якщо =1,5 м, а глибина занурення центра камери від вільної поверхні води =2,5 м (рисунок 4.3).

Рисунок 4.3

63

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Розв'язок

Сила тиску води на нижню кришку дорівнює вертикаль­ній складовій, тобто вазі води в об'ємі тіла тиску

= 1000х9,8 =6676 Н,

де =2,5+ =3,25 м

Горизонтальна складова дорівнює нулю, оскільки на праву і ліву половини кришки діють однакові, але протилежно напрямлені сили тиску

Сила тиску на верхню кришку дорівнює своїй вертика­льній складовій, тобто вазі води в об'ємі тіла тиску

= 1000х9,81х = 3038Н,

де =2,5 - =1,75м.

Горизонтальна складова сили тиску на кришку, яка зна­ходиться збоку

=1000х9,81х2,5х =4802 Н,

де

Вертикальна складова сили тиску на кришку, яка знахо­диться збоку, дорівнює різниці сил тиску, які діють на верхню і нижню половини

64

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

⁼

= 1000х9,81х =323Н.

Повна сила тиску на кришку, яка знаходиться збоку,

= 4812Н.

Напрям сили тиску визначається кутом

= 0,067; =4°.

Оскільки сила тиску напрямлена до поверхні кришки, тобто до дотичної в точці її прикладання, її напрям повинен проходити через центр кулі.

Задача 4.2 Паропроводом діаметром =300 мм до па­рової турбіни підводиться пара. Визначити напруження, яке розвивається в стінці труби, якщо тиск пари становить 90 кгс/см² , а товщина стінки =15 мм.

Розв'язок

Сила, яка розриває трубу в поздовжньому напрямі, дорі­внює гідростатичному тиску, помноженому на вертикальну проекцію криволінійної стінки, тобто діаметрально поздовж­ній переріз труби

Так як на розрив працюють обидва перерізи стінки тру­би, то напруження матеріалу стінки становить

= 8820 н/м² .

Задача 4.3 Сталевий кульовий клапан діаметром =200 мм закриває круглий отвір діаметром = 150мм. Визначити

65

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

силу, з якою куля притиснена до сідла клапана, якщо вільна поверхня рідини знаходиться на -0,3м вище площини отвору (рисунок 4.4).

Розв'язок

На кулю діють напрямлені вниз вага кулі і сила тиску води і на­прямлена вгору виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі води в об'ємі кільцевого пояса.

Рисунок 4.4

Висота кульового сегмен­та визначається із співвідно­шення

; 0,075 ²= ; =0,034 м.

Об'єм кульового сегмента

= (0,3-0,034)= 0,00032 м³

Об'єм кільцевого пояса

Рисунок 4.5

= х0,132 + 2х0,320х =

= 0,00122 м².

Вага кулі

х7800х9,81 = 320Н .

Сила тиску води на верхній сегмент

66

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

= (0,3-0,132)-320х 1000x9,81 = 26 Н.

Виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі води в об'ємі кільцевого пояса

=1220х10^-6х1000х9,81 = 12 Н .

Сила, яка притискає кулю до сідла клапана: =320 + 26-12 = 334 Н.

Задача 4.4 Вода, яка перебуває підтиском р = 2,5кгс/см² ,

заповнює резервуар через трубу діаметром =15 мм (рисунок 4.5). Визначити мінімально необ­хідний діаметр кулеподібного поплавка, який забезпечує авто­матичне закриття клапана при заповненні резервуара, якщо а=100 мм, =500 мм. Власною вагою важеля, клапана і поплавка нехтувати.

Розв'язок

Сила, що діє на клапан

=2,5х9,81х10⁴ =43,36 Н.

Сила, яку потрібно прикласти до кулі

= 7,220 Н. Необхідний об'єм поплавка

= 736х10^-6м³.

67

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Діаметр кулі:

= 0,112 м.

Задача 4.5 Круглий отвір між двома резервуарами за­критий конічною кришкою з розміром D і L. Закритий резе­рвуар заполнений водою, а відкритий резервуар - нафтою Ба­ку, важкою. До закритого резервуара під'єднаний мановакуумметр MV , який показує вакуум р_в =37,7 кПа. Температура рідин 20°С , глибина =1,69 м, та = 1,9 м. Густина води = 998 кг/м³, густина нафти =924кг/м³. Визначити силу, що зрізає болти А і горизонтальну си­лу, яка діє на кришку, якщо = 0,3 9 м, =0,34 м.

Розв'язок

Горизонтальна сила, що діє на кришку, буде рівна гори­зонтальній складовій повної сили тиску на криволінійну пове­рхню

^{= - ,}

де і =0 - тиск на поверхні води і нафти;

і =Н - віддаль від поверхні рідини до центра

тяжіння проекції криволінійної поверхні на вертикальну пло­щину;

- площа проекції криволінійної поверхні на ве­ртикальну площину;

= (-37,7 х10³+998 х 9.81 х 1,69─924 x9,81xl,9)x

х =─4582 Н.

Знак "─" вказує, що сумарна горизонтальна сила направ­лена від нафти до води (див, рисунок 4.6).

68

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Знак "─" вказує, що сумарна горизонтальна сила направ­лена від нафти до води (див. рисунок 4.6).

Сила, що зрізає болти, буде рівна вертикальній складо­вій повної сили тиску на криволінійну поверхню

х

де - об'єм тіла тиску дорівнює об'єму конуса

1

х 0,34x9,81(998─924)=9,823 Н. Направлена ця сила вертикально вниз.

Рисунок 4.6

Задача 4.6 Визначити рівнодійну сил тиску рідини, що діють на криволінійну стінку, яка має форму четвертої части­ни поверхні горизонтального циліндра радіусом = 1м і дов­жиною = 1,8м (рисунок 4.7). Знайти її напрям, точку прикла­дання і побудувати епюру тиску.

69

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Розв'язок

Горизонтальна складова повної сили тиску

= 1000х9,81х (1х 1,8)=8829 Н.

Тут - глибина занурення центра тяжіння проекції криволінійної поверхні на вертикальну площину,

=0,5 м;

- площа проекції криволінійної поверхні на вертикальну площину,

=1x1,8=18 м.

Рисунок 4.7

Вертикальна складова повної сили тиску

= 1000х9,81х xl,8=)3862Н.

Рівнодійна сил тиску, що діють на криволінійну поверх­ню

= 16452Н.

70

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Напрям рівнодійної визначається кутом , який вона утворює з горизонтальною складовою сили

cos = = =0,54

Для заданих умов

= 57,2°.

Точка прикладання рівнодійної сили F визначається графічно, як зображено на рисунку 4.7 Складова прохо­дить через центр тяжіння об'єму тіла тиску. Складова про­ходить через центр тяжіння епюри розподілу тиску на верти­кальну проекцію криволінійної поверхні

Задача 4.7. Кришка, виконана у вигляді півциліндра, за­криває прямокутник отвір шириною а = 0,5 м і довжиною = 1,5 м (рисунок 4.8) р стінці резервуара, нахиленій під кутом = 30° до горизонту Знайти силу , що діє на кришку, якщо вільна поверхня води розташована на =2 м над центром отвору.

Рисунок 4.8

71

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Розв'язок

Сила, що діє на кришку нормально до стінки в напрямі осі т -т

=

= =

=1000x9,81x2,0x0,5x1,5+ xl,5x=

=xl000x9,81cos30°=15966

Сили, що діють на кришку вздовж стінки по нормалі до т-т, тобто на основу півциліндра зліва і справа, рівні, і, отже, взаємно зрівноважуються.

Сила, що діє на кришку вздовж стінки паралельно до неї, тобто на криволінійну поверхню півциліндра перпендикуляр­но до т - т , рівна

=

=1000х9,81х" -х1,5я'иЗО° = 722Н,

де

Рисунок 4.10

Повна сила, що діє на кришку

=15982 Н.

Напрям повної сили тиску визначається тангенсом кута між напрямом осі т - т і напрямом сили тобто:

= 0,0452 = 2°36'

Точку прикладання сили знаходять, виходячи з того, що напрям сили повинен проходити через середину осі ци­ліндра.

72

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Задачі для самостійної роботи

Рисунок 4.9

Задача 4.1 Залізнична цистерна діаметром = 2,5 м і довжиною =5 м (рисунок 4.9) заповнена нафтою, питома ва­га якої = 820 кгс/м³. Визна­чити силу , яка розриває днище цистерни, і силу яка розриває цистерну у вер­тикальній поздовжній площи­ні, якщо рівень вільної повер­хні нафти на =1,3 м вищий від осі цистерни.

Відповідь: =51306

=130964 .

Задача 4.2 Кульовий клапан діаметром =300лш, що за­криває круглий отвір діамет­ром = 150 мм в вертикальній стінці, розміщений на глибині = 4,4 м від поверхні води (ри­сунок 4.10). Визначити мініма­льну вагу вантажу який зрів­новажує тиск води на клапан, якщо плече важеля дорівнює = 0,8м, а відстань від шарні­ра до центра кулі =250мм.

Власною вагою кулі і важелів нехтувати.

Відповідь: 239,4

Задача 4.3 Півкульова кришка закриває круглий отвір діаметром =0,5м в стінці резервуара, нахиленій під кутом 45° до горизонту (рисунок 4.11).

73

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Знайти силу , яка від­риває кришку, якщо ві­льна поверхня води роз­міщена на висоті = 3,5 лі над центром отвору. Відповідь: F = 6965

Рисунок 4.11

Задача 4.4 Циліндрична дерев'яна бочка з холодною во­дою, яка стоїть вертикально, має діаметр =1 м і довжину = 1,4 м, схоплена двома залізними обручами, відстань між якими =700 мм. Знайти силу тиску, яка діє на верхнє і нижнє дно бочки, при розрахунку тиску в бочці (біля верхнього дна) 2 кгс/см³ . Визначити необхідний переріз обручів при допу­стимому напруженні матеріалу 1000 кгс/см².

Відповідь: =154017 Н ; =164808 Н ;

= 7,4х10^-4 м²

Задача 4.5 Всмоктувальний клапан на всмоктувальній трубі насоса виготовлений у вигляді кулі діаметром

= 150 мм (рисунок 4 12), сидить в сідлі діаметром =100 мм. Яке розрідження необхідно створити над віль­ною поверхнею води в трубі, щоб клапан трохи піднявся, якщо . =5 м, =2 м, а питома вага матеріалу кулі

= 8500 кгс/м³ .

Відповідь: 4,69 м вод. cm.

Рисунок 4.12

74

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Задача 4.6 Визначити товщину стінки циліндричного резервуара діаметром 2 м з листової сталі, що перебуває під внутрішнім тиском р=2 кгс/см². Допустиме напруження на розрив = 8000 Н / см².

Відповідь: 0,0024 м.

Задача 4.7 Цегла важить на повітрі 4 кгс, а в воді 1,33 кгс. Визначити питому вагу матеріалу.

Відповідь: 14715 Н /м³ .

Задача 4.8

Визначити відриваючі зусилля, які сприймають болти напівсферичної кришки радіусом =0,5 м, якщо покази манометра = 26487 Н/м² . Гли­бина води = 1,2м (рису­нок 4.13).

Відповідь: 8984

Рисунок 4.13

Задача 4.9 Посудина, яка має в нижній частині на висоті =60 см форму зрізаного конуса, звужується від =80 см до =60 см (рисунок 4.14). Посудина герметично закрита і заповнена водою на висоту =80 см. Манометричний тиск над вільною поверхнею =9810 Н/м².

Визначити:

1. силу тиску на дно посудини ;

2. з якою силою посудина тисне на підлогу, нехтуючи ва­гою посудини;

75

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

3) пояснити гідравлічний парадокс, для цього визначити вертикальну складову сили тиску на конічну бічну поверхню. Відповідь:

1) =8871 ,

2) =1663 ; . =7208

Рисунок 4.14

Задача 4.10 Кульовий резервуар діаметром =1 м повністю заповнений рідиною, густина якої = 10 кг/м³. У верхній точці рідини в резервуарі тиск атмос­ферний.

Визначити величини і напрям сил, що діють на верхню та бокову півсфери.

Відповідь: =1,28 кН, =3,85 кН.

Задача 4.11 Розв'язати задачу 4 10, вважаючи, що у вер­хній точці рідини в резервуарі тиск:

1. надлишковий = 4,9 кПа;

2. вакуум, =4,9 кПа; Відповідь:

1. 1) =5,13 кН; =7,70 кН.

2. 2). =2,57кН; =0.

Задача 4.12 Вертикальний циліндричний резервуар ( =2 м) закритий зверху напівсферичною кришкою того ж діаметра вагою 19,6 кН повністю заповнений водою. В отвір у верхній частині кришки вставили вертикальну трубку дуже малого діаметра і залили в неї воду.

Визначити: 1) при якій висоті води в трубці вертикаль­на складова сили тиску рідини зрівноважиться вагою кришки?

76

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

2) як повинна змінитися ця висота, якщо в трубці знаходиться невода, а гас ( =810 кг/м³)?

Відповідь: =0,303 м; =0,374 м.

Задача 4.13 Циліндричний ре­зервуар зварений із двох напівциліндричних частин і повністю заповнений рідиною (рисунок 4.15).

Рисукнок 4.15

Визначити, при якому по­ложенні резервуара (а, б або в) розтягуючі зусилля, які діють на зварний шов, мінімальні. Дов­жина резервуара більша за його діаметр, отвір для заливки зав­жди знаходиться у верхній час­тині і відкритий.

Відповідь: у положенні б

Задача 4.14 Повністю занурений поплавок показника рі­вня нафти, який має середню густину 900 кг/м³, плаває на ме­жі розділу нафти та води, що знаходиться в резервуарі -від­стійнику. Густина нафти - 850 кг/м3 , води - 1000 кг/м³. Визна­чити, яка частина об'єму поплавка знаходиться в воді.

Відповідь: 1/3 .

Задача 4.15 Перед підземним ремо­нтом газову свердловину залили до гирла водою (рисунок 4.16). Фон­танні труби установлені на глибині 1000 м. їх зовнішній діаметр 73 мм, товщина стінок 5,5 мм, вага одного метра довжини 93,7 Н. Визначити максимальні зусилля на лебідці для двох випадків:

Рисунок 4.16

1. нижній кінець труби відкритий,

2. нижній кінець труби заглушений.

Відповідь: = 82,3 кН; = 52,7 кН

77

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Задача 4.16 Який об'єм бензину ( =740 кг/м³) мож­на залити в залізничну цистерну внутрішнім об'ємом 50 м і масою 23 т, щоб вона ще зберігала плавучість в прісній воді?

Відповідь: = 40,4 м³.

Задача 4.17 В днищі резервуара з рідиною ( = 900 кг/м³) є круглий отвір ( =10 cvw), закритий напівсферичним клапаном (рисунок 4.17)

Визначити, при якому діаметрі

циліндричного поплавка кла­пан автоматично відкривається при досягненні висоти рівня рі­дини в резервуарі = 2м. Дов­жина ланцюжка, що з'єднує по­плавок з клапаном =0,95м, вага рухомих частин пристрою = 30Н, надлишковий тиск на вільній поверхні рідини =49кПа.

Рисунок 4.17

Відповідь: = 0,295 м.

Контрольні завдання

Задача 4.1 Вертикальний резервуар складається із п'яти одна­кових за висотою поясів висотою Н. Визначити силу, яка діє на кожен пояс резервуара, і точку її прикладання. Знаючи до­пустимі напруження на розтяг для матеріалу стінок резервуа­ра = 100 МПа, визначити товщину стінки кожного поясу. Висота наливу рідини густиною дорівнює 5Н . Діаметр ре­зервуара D . Дані для розрахунків в таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

Варіанти	1	2	3	4	5
, м	1,0	1,2	1,4	1,6	2,0
, м	2,0	2,5	3,0_	3,5	4,0
, кг/м3	1000	900	950	800	950

78

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Задача 4.2 Горизонтальний циліндричний резервуар закритий півкульовими днищами, заповнений рідиною, густина якої дорівнює . Довжина циліндричної частини резервуара діаметр . Манометр показує манометричний тиск ^.

Визначити сили, які розривають резервуар по перерізах 1-1, 2-2 і 3-3 (рисунок 4.18). Дані для розрахунків в таблиці 4.2.

Рисунок 4.18 Таблиця 4.2

Варіанти	1	2	3	4	5 846
ρ, кг/м3	1000	810	885	750 '2,5 і Г~ 3,6	846
D,m	1,0	1,5	2,0 4,0	2,5	2,0
L , м	1,5	2,5	4,0	3,6	3,3
рм , кПа	15,0	25,0	0,0	45,0	27,0

Задача 4.3 Вертикальна цилінд­рична цистерна з півкульовою кришкою до самого верху запов­нена двома рідинами, які не пе­ремішуються, Ж₁ і Ж₂ (відпо­відно густини і ). Діаметр цистерни , висота її циліндри­чної частини . Глибина ріди­ни Ж₁ дорівнює Н/2 Мано­метр показує манометричний тиск

Рисунок 4.19

79

Гідростатика. Сила тиску на криволінійні поверхні

Визначити силу, яка розтягує болти А і горизонтальну силу, яка розриває цистерну по перерізу 1-1 (рисунок 4.19). Дані для розрахунків в таблиці 4.3.

Таблиця 4.3

Варіанти	1	2	3	4	5
,м	2,4	1,6	2,8	1,8	2,6
,м	3,9	3,0	5,45	3,6	4,5
, кг/м3	1250	1000	930	950	1150
, кПа	8,0	14,2	11,0	16,0	6,0
, кг/м3	1000	900	900	800	950

80

Гідростатика. Відносний спокій рідини