7 Режими руху рідини

Існують два режими руху рідини: ламінарний і турбу­лентний. При ламінарному русі частинки рідини переміща­ються паралельно осі потоку, не перемішуючись (тобто відсу­тні поперечні складові швидкості). В турбулентному потоці частинки рідини рухаються хаотично, постійно перемішую­чись, і в кожній точці такого потоку зі зміною часу частинки мають різну просторову орієнтацію.

Перехід від ламінарного до турбулентного режиму течії будь-яких рідин здійснюється при досягненні безрозмірного

комплексу - величини середнього його значення =2320

= 2320.

Цей комплекс називають критичним числом Рейнольдса на честь його першовідкривача: =2320, а режим руху рідини визначається числом Рейнольдса

(7.1)

Якщо - течія ламінарна, якщо -течія турбулентна.

Для круглих труб діаметром при відомій витраті ріди­ни Q і динамічній в'язкості

(7.2)

Якщо потік іншого перерізу (трикутник, трапеція, квад­рат, прямокутник та ін.), то для визначення числа Re викори­стовують поняття гідравлічного радіуса : відношення площі "живого" перерізу до його змоченого периметра

(7.3)

Зв'язок гідравлічного радіуса з діаметром труби ви­значається із співвідношення (7.3)

119

Режими руху рідини

(7.4)

Тоді

(7.5)

Критичному числові Рейнольдса відповідає критична швидкість течії (і відповідно, витрата)

(7.6)

При вивченні режимів руху в'язких рідин важливе зна­чення мають експериментальні методи дослідження. Для ана­лізу їх результатів широко використовують теорію подібнос­тей і розмірностей.

Дослідження на моделях натурних об'єктів дає можли­вість в лабораторних умовах виявляти закономірності, які з врахуванням масштабів моделювання мають місце в натурі. Тому модель повинна бути геометрично

(7.6)

кінематично (при рівності часу )

(7.7)

і динамічно подібною, тобто відношення домінуючих сил в натурному потоці (тертя , тиску , тяжіння , поверхне­вого натягу тощо) і на його моде пі повинні зрівноважува­тися силами інерції

(7.8)

120

Режими руху рідини

(7.9)

Залежність (7.9) є основним законом гідродинамічної подібності. Величину називають числом Ньютона (1686 р.)

В формулах 7.6 ... 7.9 - лінійний розмір натури і моделі;

- швидкість і прискорення у подібних точках потоку.

Кінематична і динамічна подібність в геометрично поді­бних потоках можлива за умови, що однакові напрямки мають вектори швидкостей і домінуючих сил.

При перевазі сил тертя

з врахуванням, що і , із рівності (/.8) випливає, що при моделюванні напірного руху в'язких рідин повинні бути однаковими їх режими

(7.10)

Моделювання течії рідини у відкритих руслах можливе за умови, що на моделі і в натурі рівні числа Фруда

(7.11)

Якщо домінуючим в потоці є сили тиску то безрозмірним парамегром-критерієм по­дібності є число Ейлера

(7.12)

121

Режими руху рідини

Таким чином, безрозмірні комплекси та ін. є крите-ріями подібності для певних динамічних умов. Із спів­відношення (7.8) легко встановити, що при виконанні умови (7.10), чи (7.11) автоматич-но виконується умова (7.12) і добу­ток (Re Ей) називають критерієм Лагранжа ( ). Однак вико­нання умови (7.11) неможливе при дотри-манні умови (7.10) тому, що різний масштаб швидкостей.

З законами подібності тісно пов'язаний метод розмірно­стей, який дає змогу сформулювати і представити співвідно­шення між будь-яким фізично обґрунтованим зв'язком розмі­рних величин і безрозмірними їх комплексами, незалежно від масштабу основних одиниць (маси - кг, довжини - м, часу -секунди).

Згідно з П -теоремою Букінгема-Жуковського будь-яка рівність

= 0, (7.13)

що зв'язує між собою п -розмірних фізичних величин, які ви­значаються через т основних величин (маса, довжина і час), може бути перетворена в рівняння

= 0, (7.14)

що описує зв'язок між (п-т) безрозмірними комплексами складеними із (т +1) величин, які входять в рівняння (7.13).

Якщо т=3, то кожний комплекс матиме чотири співмножники: перші три повторюються тільки з іншими сте­пенями, четвертий - змінюється при переході від одного ком­плексу до іншого і записується в першому степені. Степені , , обчислюються так, щоб відповідний комплекс був безрозмірним, тобто сума показників степеня при , Т ,М була рівна нулю.

Питання для самоперевірки

1. Які є режими руху рідини?

2. Як визначити режим руху рідини?

3. Що називають гідравлічним радіусом?

4. Який зв'язок діаметра труби з гідравлічним радіусом?

5. Як вичислити критичну витрату рідини?

6. Дайте визначення гідродинамічної подібності потоків.

122

Режими руху рідини

7. Сформулюйте основний закон гідродинамічної подібності потоків.

8. Які умови моделювання потоків, коли домінуючими є сили -тертя, ваги, тиску та ін.?

9. Як встановити режим руху в некруглих трубах?

10. Який зв'язок методу розмірностей з модельним методом вивчення фізичних явищ?

Приклади задач з розв'язком

Задача 7.1 Визначч режиму течії рідини. В дослідах О. Рейнольде встановив, що режим руху рідини залежить від середньої швидкості , густини , в'язкості і діаметра труби

Розв'язок

Згідно з (7.13) запишемо, що ця рівність зв'язує чотири розмірних величини

= 0,

які можна записати (п - т)=4 - 3 = 1 одним комплексом π

=0, або

Poзмірність основних величин

Розмірність величин правої частини останнього рівняння

Порівняємо показники степені в обох частинах рівняння + 1 = 0

= 0 -=0.

Розв'язавши систему відносно , бачимо, що

; ; =і.

Тоді безрозмірний комплекс

123

Режими руху рідини

= = = Re.

Задача7.2 При напірній течії рідини в трубі перепад ти­ску залежить від її діаметра і довжини l еквівалентної шорсткості стінок труби , густини рідини і її в'язкості v та середньої швидкості

Привести залежність перепаду тиску від безрозмір­них комплексів

РОЗВ'ЯЗОК

За наявності семи фізично зв'язаних розмірних величин

згідно з , π-теоремою необхідно записати (7-3=4) чотири безрозмірні комплекси так, щоб

= 0. (7.14)

Приймемо, що , , і змінний комплекс а₄ в такій послідовності: Тоді

За аналогією з задачею 7.1 прирівняємо показники сте­пенів при , М, Т обох частин рівнянь комплексів

+ 1 = 0,

-1 = 0 - +2 = 0,

-1 = 0, = 0 - =0,

124

Режими руху рідини

-1 = 0,

= 0 - =0,

+ 1 = 0,

-1 = 0 - +1=0. Після розв'язання цих трьох систем рівнянь маємо = 0, =1, = 2,

= 1, =0, =0, = 1, =0, =0,

= 1, =1, =1-Тоді (7.15) запишемо як добуток безрозмірних комплексів

= 0,

або

де - відносна шорсткість труб.

Запишемо останню рівність в такому вигляді:

і представимо як рівність

Тоді

(7.15)

або

(7.16)

125

Режими руху рідини

Таким чином, ми отримали відому формулу Дарсі для визначення втрат напору (7.16) або тиску (7.15) при напірному русі рідин в трубах.

Задача 7.3 Нафта перекачується по трубі діаметром 0,1 м з витратою =0,02 м³/с. Динамічна в'язкість нафти =0,01 Па х с, густина =900кг/м³. Знайти швидкість ру­ху води в трубі діаметром =0,01 м, при якій обидві течії будуть подібні.

Розв'язок

Середня швидкість течії нафти

= 2,55 .

Число Рейнольдса при течії нафти

=2,3 х10⁴.

Для збереження подібності необхідно, щоб виконувалася умова:

де - число Рейнольдса при течії води.

Тоді швидкість води

де =10^-3 - в'язкість води;

= 1000 - її густина.

Отже,

=2,3 х10⁴ =2,3 .

Задача 7.4 Бензин, коефіцієнт кінематичної в'язкості якого дорівнює 0,7x10^-6 м³ /с, перекачується по затрубному

126

Режими руху рідіти

простору. Внутрішній діаметр зовнішнього трубопроводу = 200мм, зовнішній діаметр внутрішнього трубопроводу = 100мм. Визначити режим руху бензину, якщо середня швидкість течії рівна 0,5 м/с . При якій швидкості буде ламі­нарний режим? Розв'язок

Число Рейнольдса для некруглого перерізу визначається за формулою

Знайдемо гідравлічний радіус

=0,025 м.

Тоді число Рейнольдса

= 71430 > 2320.

Режим течії є турбулентний. Знайдемо критичну швидкість

Отже, при швидкості течії рідини меншій 0,016 м/с ре­жим її буде ламінарним.

Задачі для самостійної роботи

Задача 7.1 Яка кількість води Q витікає із труб діамет­ром 25 мм при критичному значенні числа Рейнольдса?

Відповідь: 0,164м³/год.

127

Режими руху рідини

Задача 7.2 Витрата масла в маслопроводі діаметром = 8мм складає 0,1x10 м³/с, кінематична в'язкість масла = 3x10^-4 м ²/с. Визначити витрату води в трубі діаметром 300 мм, щоб потоки були динамічно подібними. Для води = 10^-6 м²/с.

Відповідь: 1,25 х10^-5 м³/с .

Задача 7.3 Рідина витікає із зовнішньої циліндричної насадки діаметром =0,02 м при сталому рівні в резервуарі = 1м. Чи можна змоделювати процес витікання, використо­вуючи цю ж рідину?

Вказівка: при витіканні через насадку прискорення віль­ного падіння входить в число основних параметрів; швид­кість течії обчислюється за теоретичною формулою

Відповідь: моделювання неможливе.

Задача 7.4 Втрати тиску в місцевому опорі залежать від характерного лінійного розміру , густини рідини , її в'язкості , середньої швидкості течії Визначити критерії подібності і вивести формулу для втрат тиску.

Відповідь: критерій подібності - число Рейнольдса, фо­рмула для визначення втрат тиску має вигляд:

Задача 7.5 Визначити критичну (максимально можливу при ламінарному режимі) масову витрату рідини при її течії в круглій трубі.

Знайти також мінімальне число необхідних для розв'язку задачі параметрів труби та рідини.

Задача 7.6 По трубопроводу діаметром 232 мм перека­чується веретенне масло при температурі 47° С із швидкістю

128

Режими руху рідини

1м/с. Встановити режим течії масла. При якій температурі рі­дини режим течії стане ламінарним? Відповідь: Re = 13800.

Задача 7.7 В систему змащування дизельного двигуна бурової установки масло МС-20 поступає після охолодження його в радіаторі до температури = 50°С по трубі діаметром 36 мм. Нагріте в двигуні масло до температури 100°С пода­ється по трубі діаметром 40 мм в радіатор. Визначити режими течії масла в трубопроводах, якщо витрата його 60 л/хв

Відповідь: =196; =1590.

Задача 7.8 Нафта тече в кільцевому просторі між двома тру-бами. Внутрішній діаметр зовнішньої труби D= 300 мм, зовніш-ній діаметр внутрішньої трубки d = 100мм . Визначити режим течії нафти, якщо її витрата 360 м³/год, а коефіцієнт кінематичної в'язкості =0,05x10^-4 м²/с.

Відповідь: Re =63700

Задача 7.9 В трубопроводі діаметром = 305 мм поста­влена діафрагма з відношенням площ 1:5. Витрата нафти по трубопро-воду Q = 70л/с при в'язкості =0,000 м² /с.

Визначити режим течії нафти в трубі і через діафрагму

Відповідь: =2924; =6557;

Задача 7.10 У скільки разів необхідно змінній напір на початку трубопроводу, щоб ламінарний рух став турбулентним?

Відповідь: = 1,653

Задача 7.11 По самопливному трубопроводу діаметром 400 мм зливається нафта, температура якої 20 °С

( =9х10^-6м²/с) Вичислити числа Рейнольдса та Фруда,

129

Режими руху рідини

якщо при витраті нафти 113 м³/год трубопровід заповнений до половини діаметра.

Відповідь: =22214, =0,255.