Контрольные вопросы

1. Какая из матриц смежности всегда симметрична относительно главной диагонали: матрица неориентированного графа или матрица ориентированного графа?

2. Сколько единиц в каждом столбце матрицы инцидентности неориентированного графа? Почему всегда так?

3. Можно ли по матрице смежности неориентированного графа узнать локальную степень вершины?

4. Как по матрице инцидентности орграфа определить полустепень исхода вершины?

5. Может ли квадратная матрица быть матрицей инцидентности?

6. Маршруты, цепи, циклы

6.1. Основные определения

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер v₀, e₁, v₁, e₂, v₂, …, e_k, v_k, в которой любые два соседних элемента инцидентны.

Для «обычного» графа достаточно указать только последовательность вершин или только последовательность ребер.

Если v₀ = v_k, то маршрут замкнут, иначе открыт.

Если все ребра различны, то маршрут называется цепью. Если все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется простой цепью.

Замкнутая цепь называется циклом; замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Пример. v₁, v₃, v₁, v₄ – маршрут, но не цепь;

v ₁, v₃, v₅, v₂, v₃, v₄ – цепь, но не простая цепь;

v₁, v₄, v₃, v₂, v₅ – простая цепь;

v₁, v₃, v₅, v₂, v₃, v₄, v₁ – цикл, но не простой цикл;

v₁, v₃, v₄, v₁ – простой цикл.

6.2. Эйлеровы циклы

Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом, а граф называется эйлеровым графом.

Граф имеет эйлеров цикл (т.е. является эйлеровым) тогда и только тогда, когда он связный и не имеет вершин с нечетной локальной степенью.

Эйлерова цепь – незамкнутая цепь, проходящая через каждое ребро графа только один раз. Полуэйлеров граф – граф, имеющий эйлерову цепь. Граф имеет эйлерову цепь (то есть является полуэйлеровым) тогда и только тогда, когда он связный и ровно две его вершины имеют нечетную локальную степень.

6.3. Гамильтоновы циклы

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа (по одному разу), то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется гамильтоновым графом.

Гамильтонова цепь – незамкнутая цепь, проходящая через каждую вершину графа только один раз.

Контрольные вопросы

1 . Является ли последовательность aecfbdafc маршрутом? цепью? простой цепью?

2. Является ли последовательность dabcfbed циклом? простым циклом?

3. Является ли следующий граф Эйлеровым? Почему?

4. Приведите граф с шестью вершинами, который имеет гамильтонов цикл, но не имеет эйлерова цикла.

5. Приведите граф с шестью вершинами, который имеет эйлеров цикл, но не имеет гамильтонова цикла.

7. Преобразование логических выражений

7.1. Понятие логической функции

Логическими, переключательными и просто функциями здесь и далее, если не оговорено специально, будем называть двузначные (булевы) функции, которые так же, как и их аргументы, принимают только два значения 1 (ИСТИНА) и 0 (ЛОЖЬ).

Логические функции f₁ и f₂ с одинаковым количеством аргументов называются равными (эквивалентными), если на всех возможных наборах аргументов они принимают одинаковые значения.

Число различных логических функций, образованных из n аргументов, равно  .

Действительно, для n входов, каждый из которых может принимать два значения, возможны N = 2ⁿ комбинаций входных сигналов (N входных наборов). А для N различных входных сигналов возможны 2^N  комбинаций выходных сигналов, так как выходной сигнал также может принимать только два значения.

Логические функции могут задаваться таблицами значений (таблицами истинности), где для каждого возможного набора входных переменных указывается соответствующее значение функции.

Рассмотрим логические функции одной переменной вида f(x) = y

x	0	1
f0(x) = 0	0	0

Константа нуль

x	0	1
f1(x) = x	0	1

Повторение Константа нуль

X	0	1
f2(x) =	1	0

Инверсия

x	0	1
f3(x) = 1	1	1

Константа единица

Таблица 1.

Сводная таблица значений всех логических функций одной переменной

x	0	1	Усл. обозначение	Название
f0	0	0	0	Константа 0, постоянно ложная функция
f1	0	1	X	Повторение, переменная x
f2	1	0		Отрицание, инверсия, НЕ
f3	1	1	1	Константа 1, постоянно истинная функция

Таблица 2.

Сводная таблица значений всех логических функций двух переменных

	Значения функции на наборе перемен-ных				Обозначение	Наименование
x1	0	0	1	1
x2	0	1	0	1
1	2	3	4	5	6	7
f0	0	0	0	0	0	Константа 0, абс. ложная ф-ция
f1	0	0	0	1	x1 x2 , x1&x2 , x1 x2, x1  x2	Конъюнкция, И, лог. умножение, ф-ция совпадения
f2	0	0	1	0	,	Запрет x2
f3	0	0	1	1	x1	Переменная x1, повторение x1
f4	0	1	0	0	,	Запрет x1
f5	0	1	0	1	x2	Переменная x2, повторение x2
f6	0	1	1	0	x1 x2, x1Δ x2, x1 ≠ x2	Исключающее ИЛИ, ф-ция не-равнозначности, сложение по мо-дулю 2
f7	0	1	1	1	x1 x2, x1 + x2	Дизъюнкция, лог. сложение, ИЛИ, ф-ция разделения
f8	1	0	0	0	x1 x2, x1 x2	Ф-ция Вебба, стрелка Пирса, ИЛИ-НЕ, отрицание дизъюнкции
f9	1	0	0	1	x1 x2, x1 ~ x2, x1  x2	Ф-ция равнозначности или эквивалентности
f10	1	0	1	0		Инверсия x2
f11	1	0	1	1	x1 x2	Импликация x2 на x1
f12	1	1	0	0		Инверсия x1
f13	1	1	0	1	x1 x2	Импликация x1 на x2