Контрольные вопросы
1. Пусть отношение R задано на M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Выписать все элементы R, если R = {(x, y) x + y 4 & x, y M}
2. Пусть M = {1, 3, 5, 7} и отношение R M M. Задать списком отношение R и обратное отношение R–1, если R = {(a, b) (2a + b) M}
3. Пусть A = {(b, a), (c, e), (d, i), ( f, o), (g, u)} и B = {(v, a), (w, e), (x, i), (y, o), (z, u)}. Опишите отношение B ○ A-1.
4. Пусть R, S и T определены следующим образом:
R = {(1, 7), (4, 6), (5, 6), (2, 8)};
S = {(6, 10), (6, 11), (7, 10), (8, 13)};
T = {(11, ∆), (10, ∆), (13, ), (12, ), (13, Ο)}.
Определите отношения:
а) R ○ S;
б) S ○ T;
в) (R ○ S) ○ T;
г) R ○ (S ○ T).
5. Пусть V = {(a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)}. Чему равна проекция V на 2-ю ось?
3. Соответствия
Соответствием между множествами A и B называется подмножество G прямого произведения этих множеств. G A B. Если (a, b) G, то говорят, что «b соответствует a при соответствии G». Можно считать, что соответствие между множествами A и B и бинарное отношение из А в В – это эквивалентные понятия.
Область определения соответствия G – множество ООG = {a (a, b) G}. Область значений соответствия G – множество ОЗG = {b (a, b) G}.
Соответствие называется всюду (полностью) определенным, если его ОО = A. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие называется сюръективным, если ОЗ = B.
Образом элемента а в множество B при соответствии G называется множество всех b B, соответствующих элементу a A. Прообразом элемента b в множество А при соответствии G называется множество всех a A, которым соответствует b B.
Инъективное соответствие – соответствие, в котором прообразом любого элемента b из области значений ОЗ является единственный элемент a из области определения ОО.
Функциональное (однозначное) соответствие – соответствие, в котором образом любого элемента а из области определения ОО является единственный элемент b из области значений ОЗ.
Соответствие называется биективным (взаимно однозначным), если оно:
а) всюду определено;
б) сюръективно;
в) функционально;
г) инъективно.
Соответствие
не
полностью определенное,
сюръективное (ОЗ = В),
не функциональное,
инъективное
Не
полностью определенное,
инъекция,
не сюръекция,
функция
Всюду
определенное,
сюръекция,
не инъекция,
функция
Всюду
определенное,
сюръективное,
инъективное,
функциональное,
биективное
Пример. А = {Иванов, Петров, Сидоров};
В = {2, 3, 4, 5};
R A B = {(Иванов, 4), (Петров, 4), (Сидоров, 2)}.
Найти область определения и область значений соответствия R, образ элемента «Иванов», прообраз элемента 2, определить свойства соответствия R (сюръективность, функциональность, инъективность, биективность, является ли R всюду определенным).
ООR = {Иванов, Петров, Сидоров}. Так как область определения соответствия совпадает со множеством А, то соответствие является всюду определенным.
ОЗR = {4, 2}. Область значения соответствия не совпадает со множеством В, поэтому соответствие не является сюръективным.
Образ элемента «Иванов» = {4}, прообраз элемента 2 = {Сидоров}.
Соответствие R является функциональным, потому что у каждого элемента из области определения не более одного образа из области значений. Соответствие не является инъективным, так как элемент 4 имеет более одного прообраза (Иванов и Петров). В силу вышесказанного соответствие R не является биекцией.