Контрольные вопросы

1. Перечислите элементы множества M = {x  x  Z   &   x² < 100}, где Z – множество целых чисел.

2. Установите истинность или ложность следующих утверждений:

а) {2}  {1, 2, 3, 4, 5}

б)  = {}

в) x  {2, a, x}

г) 3  {1, {2, 3}, 4}

3. Равны ли между собой множества А и В? Если нет, то почему?

а) А = {2, 5, 4}, B = {5, 4, 2}

б) A = {1, 2, 4, 2}, B = {1, 2, 4}

в) A = {1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6}

г) A = {1, {2, 5}, 6}, B = {1, 2, 5, 6}

4. Определите, какие из следующих утверждений истинны, а какие ложны:

а) A ∩  = A;

б) A ∆ A = ;

в) A \ A = A;

5. Пусть X = {0, 1}, Y = {a, b}. Найти:

а) X  Y

б) Y  X

в) X²

г) X  Y  X

д) X  

2. Отношения

2.1. Понятие бинарного отношения

Бинарные (двухместные) отношения используются для определения каких-то взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов в множестве А (так, на множестве людей могут быть заданы, например, следующие бинарные отношения: «быть моложе», «быть сыном» и т.п.). Тогда все пары (a, b) элементов из А, между которыми имеет место данное отношение R, образуют подмножество, называемое бинарным отношением R, т.е. (a, b)  R, при этом R  A  A. Такое отношение (где а  А и b  А) называют отношением на множестве А.

Пример. M = {дед, отец, внук}

M  M = {(дед, дед), (дед, отец), (дед, внук),

(отец, дед), (отец, отец), (отец, внук),

(внук, дед), (внук, отец), (внук, внук)}

R – «быть моложе»

R = {(отец, дед), (внук, дед), (внук, отец)}

Пусть А и В – два множества. В общем случае (бинарным) отношением R из множества А в множество В называется подмножество пар (a, b)  R прямого произведения А и В: R  A  B.

Для бинарных отношений обычно используется инфиксная форма записи:

a R b  = (a, b)  R  A  B

Пример. Пусть на множестве M = {2, 4, 6} определено отношение R – «быть меньше».

Задать списком отношение R.

R = {(2, 4), (2, 6), (4, 6)}.

2.2. Обратное отношение

Обратное отношение: R^–1 = {(a, b)  (b, a)  R}

Пример. Если R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} («быть меньше»),

то R^–1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} («быть больше»).

2.3. Композиция отношений

Пусть R₁  А  B – отношение из множества А в множество B, а R₂  B  C – отношение из множества B в множество C. Композиция отношений действует из А в В посредством R₁, а затем из В в С посредством R₂. Композицией двух отношений R₁ и R₂ называется отношение R  А  C из А в C, определяемое следующим образом:

R = R₁  R₂ = {(a, c)  a  A    c  C      b  B   a R₁ b  b R₂ c}

Пример. A = {1, 2, 3}, B = {x, y}, C = {, , , *}

R₁  A  B = {(1, x), (1, y), (3, x)}

R₂  B  C = {(x, ), (x, ), (y, ), (y, *)}

R₁  R₂ = {(1, ), (1, ), (1, ), (1, *), (3, ), (3, )}

Пример. Если R – «быть сыном», то R  R – «быть внуком».

Степенью отношения R на множестве А называется его композиция с самим собой:

Соответственно, R⁰ = I; R¹ = R; R² = R  R и вообще говоря Rⁿ = R^n–1  R.

2.4. Векторы

Вектор (кортеж) – упорядоченный набор элементов

v = (a1, a2, …, an) или v = <a1, a2, …, an>,

где а₁, а₂, …, a_n – компоненты (координаты) вектора. Число n компонент называется длиной (размерностью) вектора.

Два вектора v₁ = (a₁, a₂, …, a_n) и v₂ = (b₁, b₂, …, b_m) равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие их координаты равны, т.е.

(a1, a2, …, an) = (b1, b2, …, bm)

если n = m & a₁ = b₁ & a₂ = b₂ & … & a_n = b_m

Проекцией вектора v на i-ю ось называется его i-ая компонента: пр_i v = a_i.

Пример. пр2 (а, 2) = 2

Проекцией множества векторов V на i-ю ось называется множество проекций всех векторов из V на i-ю ось.

Пример. V = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6};

пр2 v1 = 1; пр2 v1 = 2; пр2 v1 = 3; пр2 v1 = 1; пр2 v1 = 2; пр2 v1 = 3;

пр2 V = {1, 2, 3}.