Контрольные вопросы
1. Сколько ячеек должно быть на карте Карно для функции пяти переменных?
2. Можно ли найти минимальную форму записи логической функции с помощью метода Квайна?
3. Можно ли приступить к кодированию нулями и единицами (метод Квайна – Мак-Класки) следующей формы записи логической функции?
4. Обязательно ли включать в контуры ячейки с прочерками при минимизации неполностью определенных логических функций?
5.
Для какой из функций:
или
необходимо найти сокращенную нормальную
форму при минимизации неполностью
определенных логических функций?
9. Свойства логических функций
Функция f(x1, x2, ..., xi–1, xi, xi+1, ..., xn) называется существенно зависящей от аргумента xi, если хотя бы на одном наборе входных переменных
f(x1, x2, ..., xi–1, 0, xi+1, ..., xn) f(x1, x2, ..., xi–1, 1, xi+1, ..., xn)
Функция называется сохраняющей нуль, если она равна нулю на нулевом наборе данных.
f(x1, x2, ..., xn) = 0 при всех xi = 0, i = 1, 2, ..., n
Функция называется сохраняющей единицу, если она равна единице на единичном наборе данных.
f(x1, x2, ..., xn) = 1 при всех xi = 1, i = 1, 2, ..., n
Функция называется самодвойственной, если она принимает противоположные значения на противоположных наборах аргументов.
Функция называется монотонной, если выполняется условие
f(x1, x2, …, xn) f(x1’, x2’, …, xn’) при всех xi xi’, i = 1, 2, ..., n
Замечание: если
ни одно из условий xi xi’
для всех i от 1
до n или xi xi’
для всех i от 1 до n
не выполняется, то говорят, что наборы
xi
и xi’
несравнимы. Пусть
,
,
.
Тогда
,
а
и 
,
а также
и 
будут несравнимыми.
Функция называется линейной, если ее можно представить линейным полиномом Жегалкина
,
где a0, a1, ..., an - константы, которые могут принимать значения 0 и 1.
Пример 1. Определим свойства функции логического умножения И
Сохраняет нуль, так как f(0, 0) = 0.
Сохраняет единицу, так как f(1, 1) = 1.
Не является самодвойственной, так как
.Монотонна, так как
f(1, 1) 
f(0, 1),
f(1, 1) f(1, 0),
f(1, 1) f(0, 0),
f(0, 1) f(0, 0),
f(1, 0) f(0, 0),
остальные наборы входных переменных несравнимы.
f(x1, x2) = x1x2 не является линейной, так как ее невозможно представить в виде линейного полинома Жегалкина.
Пример 2. Определить свойства логической функции, заданной таблицей
x1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
x2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
x3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
f |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
f(0, 0, 0) = f(1, 0, 0)
f(0, 0, 1) = f(1, 0, 1)
f(0, 1, 0) = f(1, 1, 0)
f(0, 1, 1) = f(1, 1, 1) f не зависит существенно от x1
f(0, 0, 0) = f(0, 1, 0)
f(0, 0, 1) = f(0, 1, 1)
f(1, 0, 0) = f(1, 1, 0)
f(1, 0, 1) = f(1, 1, 1) f не зависит существенно от x2
f(0, 0, 0) f(0, 0, 1) f существенно зависит от x3
f(0, 0, 0) = 0 f сохраняет ноль
f(1, 1, 1) = 1 f сохраняет единицу
f(0, 0, 0) f(1, 1, 1)
f(0, 0, 1) f(1, 1, 0)
f(0, 1, 0) f(1, 0, 1)
f(0, 1, 1) f(1, 0, 0) f самодвойственна
f(1, 1, 1) > f(0, 0, 0)
f(1, 1, 0) = f(1, 0, 0)
f(1, 1, 0) = f(0, 1, 0)
f(1, 0, 1) > f(1, 0, 0)
f(1, 0, 1) = f(0, 0, 1)
f(0, 1, 1) > f(0, 1, 0)
f(0, 1, 1) = f(0, 0, 1) f монотонна
Из таблицы значений функции f понятно, что f = x3. Эта запись одновременно является и полиномом Жегалкина для функции f. Данный полином – линейный (так как в нем нет слагаемых, являющихся конъюнкциями нескольких переменных), следовательно, и функция f является линейной.
Пример 3. Определить свойства логической функции, заданной таблицей
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
z |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
f |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
f(0, 0, 0) f(1, 0, 0) f существенно зависит от x
f(0, 0, 0) f(0, 1, 0) f существенно зависит от y
f(0, 1, 0) f(0, 1, 1) f существенно зависит от z
f(0, 0, 0) = 1 f не сохраняет ноль
f(1, 1, 1) = 1 f сохраняет единицу
f(0, 0, 0) = f(1, 1, 1) f не является самодвойственной
f(0, 1, 0) < f(0, 0, 0) f не является монотонной
Получить полином Жегалкина можно из ДСНФ функции. Чтобы упростить данный процесс, попробуем сначала минимизировать нашу функцию, например, с помощью карты Карно.
f(x, y, z) = z +xy = z xy xy z = z (x 1)(y 1) (x 1)(y 1)z =
= z xy x y 1 xyz xz yz z = xyz xy xz yz x y 1
Замечание:
Были использованы следующие преобразования:
a + b = a b ab
a = a 1
a a = 0
a 0 = a
Полученный полином Жегалкина не является линейным, следовательно, исходная функция f – не линейная.