2.2.2. Критерий согласия Колмогорова

Критерием согласия Колмогорова называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения в виде функции распределения F(x).

Критерий А. Н. Колмогорова применяется для проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины X.

Пусть заранее известно, что функция распределения исследуемой случайной величины X – непрерывная. Выдвинем гипотезу

,

то есть предположение, что функцией распределения случайной величины является выбранная нами из каких-то соображений непрерывная функция F₀(x).

Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборки независимых измерений X.

Для решения этой задачи введем статистику критерия проверки гипотезы в виде случайной величины:

, (1)

где – статистическая функция распределения.

Реализация t статистики , соответствующая выборке , может быть найдена по формуле

, (2)

где – реализация статистической функции распределения .

Доказано, что ( если H – истинна) .

Здесь D – случайная величина, распределенная по известному закону Колмогорова. Для этой величины, используя таблицы или формулы распределения Колмогорова, можно найти из условия:

,

где – вероятность практически невозможного события, и, следовательно, событие – практически невозможное.

Из предыдущих соотношений следует: [ если - истинна] , то есть: [если - истинна] [ - практически невозможно].

Теперь с точностью до принципа практической уверенности можно утверждать, что если гипотеза истинна, то реализации t статистики Т не могут превосходить границы . Далее по закону контрапозиции математической логики находим, что с той же точностью из неравенства следует ложность гипотезы . Итак, с точностью до принципа практической уверенности имеем:

( – истинна) ;

( – ложна).

Из этих соотношений следует, что неравенство необходимо для принятия, а неравенство достаточно для отклонения гипотезы Н (с точностью до принципа практической уверенности).

Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи:

( – принять);

(3)

( – отклонить);

Правило (3) называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины. Алгоритм критерия, очевидно, состоит в следующем:

1. Провести независимые n-кратные измерения случайной величины X с непрерывной функцией распределения и получить выборку .

2. Исключить из выборки грубые ошибки.

3. Построить реализацию статистической функции распределения.

4. Выдвинуть гипотезу F₀(x) о функции распределения случайной величины X.

5. Вычислить значение параметра t по формуле 2.

6. Задать вероятность практически невозможного события и из таблицы распределения Колмогорова (Прил. 8) найти параметр .

7. Принять или отклонить гипотезу .

Доказано, что критерий А. Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный. Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных условиях может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки критерия t зависит от наибольших различий и F₀(x), то нет необходимости построения и F₀(x) на всем диапазоне изменения x; достаточно ограничиться областью наибольших различий и F₀(x). Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если в формировании гипотезы о F(x) используются характеристики эмпирических распределений, так как в этом случае статистика Т зависит от F(x). Известные неудобства доставляет также значительная трудоемкость построения статистики А. Н. Колмогорова.