3.6. Построение выпуклой оболочки n точек на плоскости Постановка задачи

Для точек a₁, …, a_n, где n≥1, a_i=(a_i,1, a_i,2)R² при i=1, …, n, указать вершины b₁, …, b_m выпуклой оболочки Conv(a₁, …, a_n) в порядке их встречи при движении по ее границе. Заметим, что в общем случае Conv(a₁, …, a_n) будет многоугольником, а в вырожденных случаях может получиться отрезок или точка. В случае отрезка выходом решающего поставленную задачу алгоритма должны быть две являющиеся его концами точки, а в случае точки  сама эта точка.

Построение выпуклой оболочки с помощью сортировки

Для решения задачи (см. [3]) построения Conv(a₁, …, a_n) мы из точек a₁, …, a_n выберем точки с минимальной первой координатой, среди которых затем найдем точку c, имеющую минимальную вторую координату. Таким образом, точка c = lexmin(a₁, … ,a_n) является лексикографическим минимумом точек a₁, … ,a_n и поэтому представляет собой вершину выпуклой оболочки Conv(a₁, …, a_n). Именно с нее мы и начнем обход границы против часовой стрелки, положив b₁=c и осуществив перед этим для удобства промежуточных вычислений параллельный перенос системы координат так, чтобы ее начало совпало с точкой c. После такого переноса на точках a₁, …, a_n удается определить такой линейный порядок ( ≤ ), что для c₁,c₂ {a₁-c, … ,a_n–c} имеет место c₁ ≤ c₂, если либо det(c₁,c₂)>0, либо (det(c₁,c₂)=0)&( (c_1,1)²+(c_1,2)²) < (c_2,1)²+(c_2,2)² ).

Геометрический смысл такого упорядочения можно проиллюстрировать, если ввести полярную систему координат φ, r (-<φ ≤, r0) с центром в точке c и далее положить, что c₁ ≤ c₂, если (φ₁,r₁) лексикографически не превосходит (φ₂,r₂), где числа φ_i, r_i являются полярными координатами точки c_i, i = 1,2.

Таким образом, c₁ ≤ c₂, если либо φ₁ < φ_2, либо (φ₁ = φ₂ )&(r₁ ≤ r₂). Как только линейный порядок на элементах (точках) a₁, …, a_n определен, немедленно можно воспользоваться сортировкой, для того чтобы отсортировать эти элементы по неубыванию в соответствии с введенным линейным порядком. После этого мы произведем за время O(n) просмотр отсортированного массива с целью получения итоговых точек b₁, …, b_m исходя из того условия, что точка b_i+1 располагается строго слева от вектора, идущего из точки b_i-1 в точку b_i, что эквивалентно требованию того, чтобы det(b_i-b_i-1,b_i+1-b_i)>0.

Описанные действия конкретизируются алгоритмом, представляемым процедурой CONV_SORT (a, n), на вход которой подается массив точек a[1], …, a[n]. Итоговые точки b₁, …, b_m, являющиеся решением задачи, будут представлены в той же последовательности в первых m элементах a[1], …, a[m] массива a. Отметим также, что в процедуре CONV_SORT используется подпрограмма сортировки СОРТИРОВКА (a, n), выдающая отсортированный по неубыванию массив a.

procedure CONV_SORT (var a, n);

begin

c:= a[1]; m:= 1;

for i:= 2 to n do if a[i][1]<c[1] then begin

c:= a[i]; m:= i;

end else if a[i][1]=c[1] then if a[i][2]<c[2] then begin

c:= a[i]; m:= i;

end;

a[1]a[m]; m:= 1;

for i:= 1 to n do a[i]:= a[i]-c;

СОРТИРОВКА(a, n);

for i:= 2 to n do if a[i]  a[m] then begin

if m  2 then while (m  2)&(det(a[m]-a[m-1],a[i]-a[m]) 0) do m:= m-1;

m:= m+1; a[m]a[i];

end;

for i:= 1 to m do a[i]:= a[i]+c;

end;

Временная сложность алгоритма построения выпуклой оболочки точек в случае, если используется СОРТИРОВКА с помощью d–кучи, где d2, есть величина O(nlog n), если же используется быстрая СОРТИРОВКА, то временная сложность алгоритма оценивается сверху величиной O(n²), а в среднем алгоритм выполняется за время O(nlog n).