Алгоритм Краскала

procedureMSP_KRASKAL(varET;varmt;G;n,m);

begin

Отсортировать массив Eпо невозрастанию весов его элементов;

Создать коллекцию из n синглетонов множества {1, 2, … , n};

mt:= 0;

for i:= 1 to m do begin

Найти имя a подмножества, содержащего элементE[i][1];

Найти имя b подмножества, содержащего элемент E[i][2];

if a ≠ b then begin

Объединить подмножества коллекции с именами a и b;

mt:= mt+1; ET[mt]:= E[i];

end;

end;

end;

Временная сложность алгоритма Краскала есть O((m+n)log n)).

Алгоритм Прима

В данном алгоритме (см. [2]) используется представление исходного графа G окрестностями его вершин. Для окрестности i–ой вершины графа G = (V, E) мы будем использовать введенное обозначение O_G(i). При этом заметим, что при непосредственном программировании следует использовать структуру ADJ[1..n]. В алгоритме используются также массивы

• a[1..n] (a[x]  вес минимального по весу ребра, соединяющего вершину x с построенным фрагментом минимального остова),

• b[1..n] (b[x]  имя второй вершины этого ребра) и

• VT[1..n] (VT[y]=1, если вершина y входит в построенный фрагмент минимального остова).

Алгоритм начинает свою работу с любой вершины uV. Для определенности положим, что u является первой вершиной.

procedure MSP_PRIM(var ET; var mt; G; n,m);

begin

for i:= 1 to n do VT[i]:= 0; mt:= 0; u=1; VT[u]:= 1;

for xO_G(u) do begin

a[x]:= W(x,u); b[x]:= u;

end else a[x]:= +;

while mt<n-1 do begin

u:= argmin{a[x] : VT[x]:= 0};

if a[u]:= + then begin writeln(‘граф несвязен’); exit; end;

q:= b[u];

VT[u]:= 1; mt:= mt+1;

ET[mt][1]:= u; ET[mt][2]:= q;

for xO_G(u) do if VT[x]=0 then if a[x]>W(x,u) then begin

a[x]:= W(x,u); b[x]:= u;

end;

end;

end;

Временная сложность алгоритма Прима есть O(n²).

Примечание. Используемый в псевдокоде знак + обозначает число, которое больше веса любого ребра исходного графа G.

Round Robin алгоритм

procedure MSP_RRA(var ET; var mt; G; n,m);

begin

mt:= 0;

Создать пустую коллекцию Kразделенных подмножеств множестваV;

Создать пустой двусторонний список Qкорневых элементов разделенных множеств изK;

foruVdobeginСоздать(u, K); Добавитьuк концу спискаQ;

Создать ленивую левостороннюю кучу H(u) из ребер, инцидентныхu;

end;

while |Q|>1 do begin

Изъять первый элементfиз спискаQ;

Найти элемент edgeминимального веса в кучеH(f);

a:= edge[1]; b:= edge[2]; Найти(i,a,K); Найти(j,b,K);

if ij then begin

mt:= mt+1; ET[mt]:= edge;

Удалитьiиjиз спискаQ;

Объединить(i,j,K);

z:= корневой элемент подмножества, полученного объединением подмножеств с корневыми элементами и

i и j;

H(z):= ленивая левосторонняя куча, полученная слиянием кучH[i] иH[j];

Добавить zк концу спискаQ;

end;

end;

end;

Временная сложность Round Robin алгоритма есть O(mlog log n).

Примечание. Элемент (ребро) в ленивой куче H[t] считается пустым, если концы этого ребра принадлежат одному и тому же множеству из коллекции K.

Задания для лабораторной работы № 2

Предлагается попарное сравнение различных алгоритмов нахождения минимального по весу остовного дерева в графе G = (V, E), имеющего n вершин и m ребер.

Варианты выбора пары алгоритмов A и B для сравнения:

Вариант 1

• А  алгоритм Борувки,

• В  алгоритм Краскала;

Вариант 2

• А  алгоритм Борувки,

• В  алгоритм Прима;

Вариант 3

• А  алгоритм Прима,

• В  алгоритм Краскала;

Вариант 4

• А  алгоритм Борувки,

• В  Round Robin алгоритм.

Задание.

1. Написать программу, реализующую алгоритм А и алгоритм В.

2. Написать программу, реализующую алгоритм А и алгоритм В, для проведения экспериментов, в которых можно выбирать:

• число n вершин и число m ребер графа,

• натуральные числа q и r, являющиеся соответственно нижней и верхней границей для весов ребер графа.

Выходом данной программы должно быть время работы Т_А алгоритма А и время работы Т_В алгоритма В в секундах.

3. Провести эксперименты на основе следующих данных:

   1.  n = 1, … ,10⁴+1 с шагом 100, q = 1, r =10⁶, количество ребер: а) m ≈ n²/10, б) m ≈ n² (нарисовать графики функций T_А(n) и Т_В(n) для обоих случаев);

   2.  n = 101, … ,10⁴+1 с шагом 100, q = 1, r  = 10⁶, количество ребер: а) m ≈ 100n, б) m ≈ 1000n (нарисовать графики функций T_А(n) и Т_В(n) для обоих случаев);

   3.  n = 10⁴+1, m = 0, … ,10⁷ с шагом 10⁵, q = 1, r = 10⁶ (нарисовать графики функций T_А(m) и Т_В(m) );

   4.  n = 10⁴+1, q = 1, r = 1, … ,200 с шагом 1, количество ребер: а) m ≈ n², б) m ≈ 1000n (нарисовать графики функций T_А(r) и Т_В(r) для обоих случаев).

4. Сформулировать и обосновать вывод о том, в каких случаях целесообразно применять алгоритм А, а в каких  алгоритм В.