1.4. Графическое и геометрическое представление переключательных функций

Табличный способ задания переключательных функций является наиболее естественным, но не самым компактным. Чтобы несколько сократить размеры таблиц, задающих функции многих переменных, часто используют двухмерные таблицы, которые строят следующим образом. Вектор аргументов x₁,...,x_n разбивают на две части x₁,...,x_k и x_k+1,...,x_n. Строкам таблицы приписывают значения первой группы аргументов ₁,...,_k, а столбцам таблицы - значения второй группы аргументов _k+1,...,_n. При таком расположении значений аргументов каждому набору (₁,...,_n) соответствует одна клетка таблицы, в которую может быть записано значение функции. Двухмерные таблицы для переключательных функций, которые называют диаграммами Вейча или картами Карно, обычно строят, приписывая значения аргументов строкам и столбцам таблицы таким образом, чтобы наборы аргументов, отличающиеся значением только одной переменной, располагались симметрично относительно какой-либо оси симметрии таблицы. Для построения карт, обладающих свойством симметрии, значения переменных приписывают строкам и столбцам таблицы в порядке, соответствующем зеркальному коду (цикличному коду, коду Грея). Такой код строится согласно следующим правилам:

1. Коды единичной длины (n=1) являются зеркальными.

2. Если построен код длины (n-1), то нужно построить новую ось симметрии и отобразить зеркально коды длины (n-1) относительно этой оси, а затем приписать слева всем кодам, расположенным выше оси, цифру 0, а кодам, расположенным ниже оси, цифру 1. В результате получаем зеркальные коды длины n.

Процесс построения зеркальных кодов для n=1,2,3 показан на рис. 1.1, а карты, построенные с использованием этих кодов, на рис. 1.2.

n = 1 n = 2 n = 3

0 0 0 0 0 0

------ Ось 0 1 0 0 1

1 симметрии ------- Ось 0 1 1

1 1 симметрии 0 1 0

1 0 ------- Ось

1 1 0 симметрии

1 1 1

1 0 1

1 0 0

Рис. 1.1

Для удобства построения и использования карт коды строк и столбцов опущены. Вместо них на картах строки и столбцы, соответствующие единичным значениям переменных x_i, i=, отмечены чертой с обозначе-

Рис. 1.2

нием переменной x_i. Таким образом, клетки, расположенные в строке или столбце, отмеченными чертой с переменной x_i, соответствуют наборам, в которых x_i =1. На картах, приведенных на рис. 1.2, жирными линиями показаны оси симметрии, которые соответствуют границам изменения значений переменных. Нетрудно проверить, что коды клеток, расположенных симметрично относительно оси с номером k, отличаются только значением одной переменной x_k. Свойство симметрии карт является основой визуальных методов минимизации переключательных функций, которые будут рассмотрены в следующей главе.

Геометрическое отображение переключательных функций основано на наших представлениях о том, что функция двух переменных определяет множество точек на плоскости, а функция трех переменных - множество точек в трехмерном пространстве. Исходя из этих представлений, область определения переключательных функций двух переменных можно изобразить в виде множеств вершин квадрата, область определения функций трех переменных - как множество вершин трехмерного куба, область определения функций четырех переменых - как множество вершин четырехмерного гиперкуба, и т. п.