Введение

Курс «Дискретная математика» посвящен в основном теоретико-множественному подходу к построению различных математических моделей и, в частности, математическому аппарату анализа и синтеза логических схем без памяти (комбинационных схем). Методы, излагаемые в этом курсе, используются в дальнейшем в курсе “Элементы и узлы вычислительных машин» для описания работы элементов и блоков (функциональных устройств) цифровых машин, в курсе «Цифровые вычислительные машины и системы” для описания взаимодействия отдельных блоков и устройств машины, а также являются базой учебных курсов, посвященных автоматизации проектирования цифровых устройств.

Основной задачей курсовой работы “Реализация переключательных функций в универсальных базисах” является закрепление у студентов теоретических положений курса «Дискретная математика», приобретение практических навыков построения цифровых схем.

В курсовой работе требуется построить из элементов универсального структурного базиса комбинационную схему, выполняющую преобразование чисел из позиционной системы счисления с основанием в позиционную систему счисления с основанием.

Курсовая работа выполняется по индивидуальным заданиям, которые выдаются руководителем курсовой работы. В задании указываются диапазон изменения чисел, основания исходной () и результирующей () систем счисления, параметры двоичного кодирования на входе и выходе комбинационной схемы, ограничения, налагаемые на элементы используемого функционального и структурного базиса (местность операторов функционального базиса и число входов элементов структурного базиса).

1. Переключательные функции и их свойства

Рассмотрим множество из двух элементов B⁽²⁾ = {0,1} и определим сово­купность переменных (), таких, что каждая переменная может принимать значения только изB⁽²⁾. Совокупность таких переменных назовем вектором двоичных переменных и обозначим символом . Назовем последовательность нулей и единиц, получающуюся изпосле замены переменных их значениями,двоичным набором. Любой такой набор можно рассматривать как целое двоичное число. Условимся называть десятичный эквивалент этого числа номером набора. Если обозначить произвольный двоичный набор символом , а номер этого набораj(), то для заданного его номер вычисляется следующим образом:j()=.

Например, номер набора j(0, 1, 0, 1, 0, 1) = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 21. Наборы из n компонентов нумеруются числами от 0 до 2ⁿ - 1. Следовательно, всего имеется 2ⁿ различных двоичных наборов.

Двоичный набор полностью определяется своим номеромj и числом компонентов n. Например, для j = 12 и n= 6 имеем (12) = (0,0,1,1,0,0).

Далее, введем функции, зависящие от вектора аргументов , которые обозначимили, и условимся, что такие функции могут принимать значения только из множестваB⁽²⁾ и называются переключательными функциями. Областью определения переключательной функции от n переменных является множество из 2ⁿ двоичных наборов. Для того чтобы задать переключательную функцию, нужно указать соответствие между этими наборами и значениями функции. Такое соответствие проще всего описать с помощью таблицы истинности, число строк в которой определяется числом наборов, а число столбцов на единицу больше числа переменных. Пример такой формы задания функции приведен в табл. 1.1. Обозначим множество переклю­чательных функций, зависящих от n аргументов: Р ⁽ⁿ⁾ = {}, и найдем число элементов этого множества |Р ⁽ⁿ⁾|, т. е. число различных переключательных функций от n аргументов. В случае табличного задания столбцы значений различных функций должны иметь различие хотя бы в одной строке. Следовательно, для того чтобы найти число различных функций n переменных, нужно подсчитать, какое количество различных столбцов значений может быть в таблице, имеющей 2ⁿ строк. Если каждую позицию в столбце считать двоичной переменной, то задача сводится к определению числа наборов для 2ⁿ переменных. Исходя из этого, получаем, что |Р ⁽ⁿ⁾| = .

Зависимость числа переключательных функций от числа переменных показана в табл. 1.2:

Таблица 1.1

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1 Из табл. 1.2 видно, что число переключательных функций очень быстро растет при незначительном увеличении числа переменных.	1	1	1

Таблица 1.2

n	|Р (n)|
1	4
2	16
3	256
4	65536
5	4,310 9