2.8. Особенности минимизации частичных функций

Частичная ПФ на запрещенных наборах значений переменных не определена, поэтому в строках таблицы истинности и в клетках ее карты Карно, соответствующих запрещенным наборам, ставится особый символ (звездочка, прочерк, и т.п.). Следует помнить:

- формуле и комбинационной схеме всегда соответствует полностью определенная функция;

- для перехода от табличного к аналитическому представлению ПФ и для построения комбинационной схемы обязательно доопределение частичной функции.

Под доопределением частичной функции понимается как процесс замены неопределенных значений функции на определенные значения из множества {0,1} для всех запрещенных наборов значений переменных, так и полностью определенная функция – результат доопределения. Очевидно, что при k запрещенных наборах существует вариантов доопределения частичной функции. Два важных частных доопределения: доопределение нулями(единицами), когда на всех запрещенных наборах частичной функции присваиваются определенные значения 0(1).

Минимизация частичных функций по методу Квайна - Мак-Класки выполняется в два этапа:

Этап 1. Находятся все минимали частичной функции, доопределенной единицами. Это дает избыточный набор минималей.

Этап 2. Ищется минимальное покрытие полученным избыточным набором минималей всех конституент единицы частичной функции, доопределенной нулями.

Пример 2.9. Пусть частичная функция 3-х переменных задана множеством единичных и запрещенных наборов (помечены звездочкой):

f(x₁,x₂,x₃)={0,4,6,2^*}.

1-й этап метода Квайна-Мак-Класки (функция доопределяется единичным значением на запрещенном наборе с номером 2). Последовательность склеивания конституент 1 показана в табл.2.7.

Таблица 2.7

C3	C2	C1
000	0z0 z00	zz0
010 100	z10 1z0
110

Множество минималей состоит из единственного элемента zz0.

2-й этап метода Квайна-Мак-Класки (функция доопределяется нулевым значением на запрещенном наборе с номером 2). Минимальное покрытие ищется с помощью таблицы покрытий (табл.2.8.).

Таблица 2.8

	000	100	110
zz0	1	1	1

Таким образом, минимальная ДНФ имеет вид .

При поиске минимальных ДНФ (КНФ) частичной функции по карте Карно клетки, заполненные особыми символами, можно включать в область покрытия, если это выгодно с точки зрения цели минимизации. Если при определении МДНФ (МКНФ) клетка с особым символом включена в область покрытия, то это означает, что ПФ на данном наборе доопределена значением 1(0). Клетки, не включенные в область покрытия, считаются доопределенными противоположными значениями 0(1).

Пример 2.10 Построим КСх для устройства отображения множества символов - арабских цифр S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Для отображения символов используется девятисегментный индикатор. Функцией КСх является преобразование четырехразрядных кодов символов x₁x₂x₃x₄ в сигналы управления отдельными сегментами индикатора .

Устройство отображения символов	Коды и изображения символов
	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

Построим таблицу истинности (табл. 2.9) для всех функций , , описывающих закон управления сегментами индикатора. Единичное значение функции означает, что-й сегмент индикатора должен быть активен (включен) при отображении символа, двоичный код которого равен. Поскольку четырехразрядный двоичный код символа допускает 16 различных кодовых комбинаций, из которых использованы только 10 кодовых комбинаций, 6 комбинаций (1010,1011,1100,1101,1110,1111) являются запрещенными, функции на этих кодовых наборах не определены и являются частичными.

Полученная таблица является полным исходным описанием устройства управления индикатором. Другим, более компактным описанием будет система переключательных функций, заданных множеством единичных и запрещенных (безразличных) наборов,помеченных символом “*”:

Таблица 2.9

Отображаемый символ	Наборы аргументов	Номер набора	Значения функций
0	0000	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1
1	0001	1	0	0	1	1	0	0	0	1	0
2	0010	2	1	0	0	1	0	0	1	0	1
3	0011	3	1	0	1	0	1	0	1	0	0
4	0100	4	0	1	0	1	1	0	0	1	0
5	0101	5	1	1	0	0	1	0	0	1	1
6	0110	6	0	0	1	0	1	1	0	1	1
7	0111	7	1	0	1	0	0	1	0	0	0
8	1000	8	1	1	0	1	1	1	0	1	1
9	1001	9	1	1	0	1	1	0	1	0	0
	1010	10(A)	*	*	*	*	*	*	*	*	*
	1011	11(B)	*	*	*	*	*	*	*	*	*
	1100	12(C)	*	*	*	*	*	*	*	*	*
	1101	13(D)	*	*	*	*	*	*	*	*	*
	1110	14(E)	*	*	*	*	*	*	*	*	*
	1111	15(F)	*	*	*	*	*	*	*	*	*

Минимизируем переключательные функции и, описывающие законы управления 1-м и 7-м сегментами (верхний горизонтальный и нижний наклонный сегменты) при подаче на вход комбинационной схемы КСх кодов различных символов из множества S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Построим карты Карно для функций , , отмечая неопределенные значения функции на запрещенных наборах символом "*". Размерность карты может быть различной (1х16, 2х8, 4х4, 8х2, 16х1). В нашем примере воспользуемся квадратной формой карты 4х4. В этом случае можно сопоставить строкам карты различные кодовые комбинации переменных , а столбцам – различные кодовые комбинации переменныхсоответственно.

Вначале найдем минимальные дизъюнктивные нормальные формы – МДНФ, выполнив покрытие единичных наборов.

Построенному покрытию соответствует нижеприведенный вариант доопределения частичных функций и:

Минимальные покрытия единичных наборов на карте Карно имеют вид

что соответствует минимальным ДНФ

с ценой

Напомним, что цена покрытия (функции) соответствует суммарному числу входу логических элементов конъюнкции (1-й ярус) и дизъюнкции (2-й ярус) в канонической двухярусной схеме, реализующей МДНФ. Суммарная цена покрытия предполагает независимую раздельную реализацию функцийибез учета общей конъюнкции.

Для сравнения построим минимальные конъюнктивные нормальные формы – МКНФ.

Построенному покрытию соответствует нижеприведенный вариант доопределения частичных функций и:

Минимальные покрытия нулевых наборов на карте Карно имеют вид

что соответствует минимальным КНФ

с ценой

В данном случае цена покрытия функции соответствует суммарному числу логических элементов дизъюнкции (1-й ярус) и конъюнкции (2-й ярус) в канонической двухярусной схеме, реализующей МКНФ. Суммарная цена покрытия предполагает независимую раздельную реализацию функцийибез учета общих дизъюнкций (в данном варианте покрытия общие дизъюнкции в МКНФиотсутствуют!).

В результате по критерию минимума суммарной сложности для реализации этих функций целесообразно использовать МКНФ и соответственно элементы универсального структурного базиса Пирса.