Числа Стирлинга первого и второго рода

S – второго рода; s (малая) – первого рода

Числа Стирлинга второго рода – S(n,k) – число разбиенийn элементного пространства наk не пересекающихся подмножеств.

S(4,2) = 7 {1,2,3,4} | {1,2,3} {4}

{1,2,4} {3}

{1,3,4} {2}

{2,3,4} {1}

{1,2} {3,4}

{1,3} {2,4}

{1,4} {2,3}

Свойства чисел Стирлинга

1. S(0,0)=1

2. S(n,k)=0 приk>n

3. S(n,0)=0

S(n,n)=1

4. S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) 0<k<n

Доказательство:

Рассмотрим разбиение n множества наk не пересекающихся подмножеств.

Разбиение: Разобьем на 2 группы:

{n} {n…}

Разбиение содержит только n в комбинации с другими элементами элемент

Остается n-1, разбиваем наk-1 n выбран, n фиксировано, ноk подмножеств.

S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)

В каждом подмножестве S(n-1,k) можно добавитьn и увеличим вk

Треугольник Стирлинга.

n\k	1	2	3	4	5	6
1	1	0	0	0	0	0
2	1	1	0	0	0	0
3	1	3	1	0	0	0
4	1	25	6	1	0	0
5	1	15	25	10	1	0
6	1	31	90	65	15	1

S(2,1) = S(1,0)+ 1 S(1,1)=1

S(n,1)=1

S(3,2)=S(2,1) + 2 S(2,2)

Числа Белла

S(n,k) – Это способы разбиенияn элементного множества наkподмножеств

B_n – это число разбиенийnэлементного множества на все вариантные не пересекающиеся подмножества.

В_n=ⁿ_k=0 S(n,k)

B₀=1

Теорема:28

В_n+1=ⁿ_k=0 C_kⁿB_k

Доказательство:

{1,2,….,n,n+1} - множество,n+1 - фиксировано

из 1..n будем выбирать поk элементов

k=0,1,…,n

Если k=0, все множество

K=n, то останется толькоn+1

Выбирая k остаетсяn+1-i

Оставшееся рассмотрим как одно подмножество.

Всевозможных k разбиенийB_k способами выбрать можно столько элементов – С_kⁿ отсюда В_n+1=ⁿ_k=0 C_kⁿB_k

0. 1

1. 0

_ _ _ … _

x₁ x₂ x₃ x_n

x_iX Еслиx₁X, то ставим 1

Если x₁X, то ставим 0

Получается 2ⁿ комбинаций

_A2^A – множество всех подмножеств данного подмножества

i=0,1,2,…,2ⁿ-1

i=0 (0,0,…,0) \

i=1 (0,0,…,1) | Все подмножества данного множества

… |

i=2ⁿ-1(1,1,…,1) /

(0,0,0,1,1,1) Очень сильно отличаются друг от друга

(0,0,1,0,0,0)

Бинарный код Грея

Задача: Сделать расстояние между соседними элементами отличающееся на 1.

В_k=(0,0,…,0) – первый набор

i=0,1,2,…,2ⁿ-1

{

p=Q(i) Q- функция которая вычисляет степень двойки

B[p]=1-b[p] (если бы 0, будет 1 и наоборот)

}

Q(i):

{

q=1

while (i-четное)

{i=i/2;

q=q+1

}

return Q: (возвратQ)

}

n=1 дляn B₁ 1, B₂ 1, … ,B₂n 0

{0},{1} дляn+1 B₁ 0, B₂ 0 … ,B₂n 1

Q(2^k+m)=Q(2^k-m)

Пример:

i	P	B	i	P	B
1	1	0000	8	4	1100
2	2	0001	9	1	1101
3	1	0011	10	2	1111
4	3	0110	11	1	1110
5	1	0111	12	3	1010
6	2	0101	13	1	1000
7	1	0100	14	2	1100

Числа Стирлинга

Определение:Факториальный многочлен

[x]_k=x(x-1)…(x-k+1)

Пример: [x]₁=x [x]₂=x(x-1)

Теорема:29 Биномиальная теорема Вандельмонда

[x+y]_n=ⁿ_k=0 C_kⁿ[x]_k[y]_n-k

P(x)=ⁿ_k=0 a_xX^k

S[n,k] – матрица перехода от обычного к ортогональному.

{1,x,x²…xⁿ} базис пространства

{1,[x]₁,[x]₂,…,[x]_n} – базис многочленов пространства многочленов

Числа Стирлинга второго рода xⁿ = ⁿ_k=0 S[n,k][x]_k

Числа Стирлинга первого рода [x]_n=ⁿ_k=0 x^k s[n,k] – матрица перехода от ортогонального базиса к обычному базису.

Свойства чисел Стирлинга

1. s(n,0)=0, n>0

2. s(n,n)=1

3. s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)S(n-1,k)

Доказательство:

[x]_n=[x]_n-1(x-n+1) по определению биномиального многочлена

[x]_n=ⁿ_k=0 s(n,k)x^k =(по определению чисел Стирлинга 1 рода)

=(^n-1_k=0 s(n-1,k)x^k)(x-n+1)= (^n-1_k=0 s(n-1,k)x^k+1)-(n-1)^n-1_k=0 S(n-1,k)x^k) =

=S(n-1,k-1)x^k+(^n-1_k=0 S(n-1,k-1)x^k)-(n-1)^n-1_k=0 S(n-1,k)x^k) -(n-1)S(n-1,0)x^k)=

xⁿ+(^n-1_k=0 S(n-1,k-1)-(n-1)^n-1_k=0 S(n-1,k))x^k

xⁿ – уйдет вместе с ч_лесли поменять доn-1 в начале