Приближенная интерполяция

F(x₁,x₂…x_n)

F(x,y)=sin x^.cos x илиF(x,y,z)=x²z+xy+xy²z³

;

;

Метод наименьших квадратов

S(x_k)-y_k=k

_k=1ⁿk min

S_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m

_k=1ⁿk² =_k=1ⁿ(a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m)²

Ф(a₀,a₁,…,a_m) min {a₀,…,a_m}

Пример:

(a,b)ax+b

_k=1⁷(ax_k+b-y_k)²=Ф(a,b)

;

Ф(a,b)=(-3a+b+2)²+(-2a+b-4)²+(-a+b)²+(b-1)²+(a+b)²+(2a+b-3)²+(3a+b-2)²

(-3a+b+2)(-3)+(-2a+b-4)(-2)+(-a+b)(-1)+(b-1)(0)+(a+b)(1)+(2a+b-3)(2)+(3a+b-2)(3)=0

Комбинаторика

Определение:способ размещения в определенном порядке некоторого числа элементов. СуммыS называют размещения.

S={a,b,c}

{ab,ac,ba,ca,bc,cb}

{ab,ac,bc}

A_kⁿ=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

A_nⁿ=Pⁿ-n!

C_kⁿ=A_kⁿ/P^k=n!/(n-k)!k!

Свойства:

1)

2. _k=0ⁿC_kⁿ=2ⁿ

3. _k=0ⁿ(-1)^kC_kⁿ=0

4. C_kⁿ=C_n-kⁿ

5. C_kⁿ=C_k-1^n-1+C_k^n-1

6. C₀⁰=C_nⁿ=1

Треугольник Паскаля:

С₀ⁱ, С₁ⁱ, … С_iⁱ (x+y)ⁱ

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

7. Тождество Коши:

С_k^m+n=_s=0^kC_s^mC_k-sⁿ

m=n=k

C_k^2k=_s=0^k(C_sⁿ)²

Доказательство:

M,n,k – надо выбирать

_s=0^kC_s^mC_k-sⁿ

Размещение и сочетание с повторениями.

n-k

A_kⁿ=n^k n, n, n … n - k раз

Сочетания

X={a₁,a₂,…a_n)

a₁ x₁ x_i>=0

a₂ x₂ x₁+x₂+…+x_n=k

.. ..

a_n x_n

a_i - x_i+1 > 0

a₁a₁a₁| a₂a₂a₂|…|a_na_na_n|

x₁+1 x₂+1 x_n+1

C_n-1^n+k-1

Принцип включения, исключения.

Задача: Существует S={x₁,x₂,…,x_n} – конечное множество

Существуют свойства p₁, p₂ … p_n – любойx_i может ими обладать.

N₍₀₎ – число элементов которые не обладают ни одним свойством.

N₍₁₎ – число элементов которые не обладают первым свойством.

N₍₁₂₎ – число элементов которые не обладают первым и вторым свойством.

…

N_(i1,i2,..in) – число элементов, которые обладают свойствамиp₁, p₂ … p_n

1. N₍₀₎ - ? N₍₀₎=N-(N₍₁₎+N₍₂₎)+N_(1,2)

1

2 S

Теорема:24

N₍₀₎=N-^N_i=1N_(i)+ ^N_i1<i2N_(i1,i2)- ^N_i1<i2<i3N_{(i1,i2,i3)+…+}(-1)^S^N_i1<…<iSN_(i1,…,iS)+ (-1)^NN_(1,2,…,N)

P(j,1), P(j,2),…,P(j,N)

1-C₁^r+ C₂^r- C₃^r+…+(-1)^rC_r^r=0

Перестановка в которой, ни один элемент не стоит на своем месте, называется беспорядком:

{1,2,3} {2,1,3} {3,1,2} их число не бесконечно.

А_nⁿ=P_n

S={x₁,x₂,…,x_n}

|x|=n!

p₁,p₂,…,p_n; p_i – i-ый элемент стоит на своем месте, свойства перестановки.

N(i₁,i₂,…,i_r)=(n-r)! R свойств

N(i₁,i₂)-C_rⁿ(n-r)!=n!/r!

N₍₀₎=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…(-1)ⁿn!/n!=n!(1-1+1/2!-1/3!+…(-1)ⁿ1/n!)=n!_k=0ⁿ(-1)^k/k!

Кодирование с исправлениями (кодирование Хэмминга)

a=(a₁,…,a_n) a_i{0,1}

P<2_k^m r – не более, чем вr разрядах могут существовать ошибки.

P – число слов.

a=(a₁,…,a_m) | d(a,b)={a_i+b_i} – количество разрядов, которые не совпадают друг сb=(b₁,…,b_m) | другом. – Расстояние отa доb.

Пример: a=(0,1,1,0) |

b=(1,1,0,1) | => d(a,b)=3. = функция расстояния между объектами

(A,B)M (A,B) M*M  R₊ (декартово произведение).

1. (A,B)>0

(A,B)=0 <=> A=B

2. (A,B)=(B,A)

3. (A,B)<=(A,C)+(C,B)

Докажем, что d(a,b) – расстояние т.е. обладает 1,2,3.

1. очевидно

2. очевидно

3. d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b)

a_i=b_i; 0<= …

a_ib_i; 1<= Пусть нет вкладаa_i=c_i |

c_i=b_i | => a_i=b_i Значит наше предположение не верноa_ib_i;

Теорема:26

S={a⁽¹⁾, a⁽²⁾, … , a^(p)} –

D(a⁽ⁱ⁾, a^(j))>=2r+1

a⁽ⁱ⁾ – передалиi разрядное слово, не более, чем вr разрядах ошибка.

b – переданное слово.

Известно d(a⁽ⁱ⁾,b)<=r

A_i={b|d(a⁽ⁱ⁾,b)<=r - окрестность с центром в точкеb.

b<i

Окрестности не пересекаются:

Пусть это не так, тогда:

d(a⁽ⁱ⁾,w)<=r | => d(a⁽ⁱ⁾, b⁽ⁱ⁾)<=d(a⁽ⁱ⁾,w)+d(a^(j),w)<=2+2=22 Значит наше пред-

d(a^(j),w)<=r | положение неверно.

. .

... слова

Окрестность, любое слово на расстоянии<r сталоP<rⁿ слов.

2^m, r  P?

A_i aⁱ A_i={a, d(a,aⁱ)<=r}

|A_i|=C₀^m+ C₁^m+ C₂^m+…+C_r^m=_^rC_k^m – число слов в любой окрестности.

P_^rC_k^m<=2^m => p<=2^m/_^rC_k^m

Пример: Кодирования по Хэммингу.

m=3, r=1, p<=8/C₀³+C₁³=2

a⁽⁰⁾=(0,0,0) |

a⁽¹⁾=(1,1,1) | d(a⁽⁰⁾, a⁽¹⁾)=3=2k+1

A₀={(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

A₁={(1,1,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)}

(0,1,1) (1,1,1)

(0,1,0) (1,1,0)

(0,0,1) (1,0,1)

(0,0,0) (1,0,0)