Многочлены

P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=_i=1ⁿ((a_ixⁱ)

a_iQ,R,C

a_n0, тоdeg P_n=n a_n=1

Теорема:22 О делении с остатком

 P_n(x), Q_m(x)

Существует единственное R_n-m(x) иS_m-1(x): P_n(x)=Q_m(x)^.R_n-m(x)+S_m-1(x)

Deg S_m-1(x)<=m-1

Доказательство:

Q_m(x), n=deg P_n(x)

n<x

база: P_n(x)=Q_m(x)^.0(x)+S_m-1(x)

индукционный переход:

P_n-1(x)=Q_m(x)R_n(x)+S_n(x)=>

P_n(x)=Q_m(x)^.R_n-m(x)+S_m-1(x)

(R_n-m(x)-R_n-m(x))Q_m(x)=(S_m-1(x)-S_m-1(x)) справедливо если R_n-m(x)=R_n-m(x) иначе противоречие.

P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ

Q_m(x)=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_mx^m

P_n(x)=Q_m(x)^.R_n-m(x)+S_m-1(x)

R_m(x)=z₀+z₁x+z₂x²+…+z_n-mx^n-m

S_m(x)=s₀+s₁x+s₂x²+…+s_m-1x^m-1

S1 k=n-m

S2 Z_k=a_m+n/b_m

a_j=a_j-Z_kb_j-k

j=m+k-1, m+k-2,…,k

S3 k=k-1 if (k>=0) goto S2

Else stop

P_n(x)=Q_m(x)^.R_n-m(x)+S_m-1(x)

S_m-1=0 => P_n(x)||Q_m(x)

Наибольший общий делитель

НОД для P_n(x) и Q_m(x) это многочлен наибольшей степени общих деленийP_n(x) и Q_m(x).

D(P_n(x),Q_m(x))

Алгоритм Евклида для 2-х многочленов

D(P₁(x),P₂(x))

P₁(x)=P₂(x) Q₁(x)+R₁(x)

deg R₁(x)<deg P₂(x)

P₂(x)=R₁(x) Q₂(x)+R₂(x)

deg R₂(x)<deg R₁(x)

R₁(x)=R₂(x) Q₃(x)+R₃(x)

deg R₃(x)<deg R₂(x)

……..

R_n-2(x)=R_n-1(x) Q_n(x)+R_n(x)- НОД

R_n-1(x)=R_n(x) Q_n+1(x)

Пример:

D(x⁴+x³-3x²-4x-1, x³+x²-x-1) типовая задача

n=4, m=3, k=1

1 1 -3 -4 1 1 1 –3 –4 1

a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ 1 1 –1 –1

0 –2 –3 -1

-2 -3 -1

r₁=a₄/b₃=1

a_j=a_j-b_j-1^.r₁

r₀=a₃/b₃=0

a_j=a_j-b_j-1^.(j={2,1,0})

x⁴+x³-3x²-4x-1=(x³+x²-x-1)(x+0)+(-2x²-3x-1)

(x³+x²-x-1)=(-2x²-3x-1)(-x/2+1/4)+(-1/4x-1/4)

(-2x²-3x-1)=(-1/4x-1/4)(8x+4)+0

НОД: x+1

Q_m(x)=x-c

Схема горнера:

m=1 ; b₁=1, b₂=-c

k=n-1, n-2, … ,0

Z_k=a_k+1 ; a_k=a_k+1

P(x)=Q(x)(x-c)+r

r=P(c)

P_n=Q₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=(a_nx+a_n-1)x+a_n-2)x+a_n+3)

d(x)=D(P(x),Q(x))=>Существует единственныеU(x),V(x):P(x)U(x)+Q(x)V(x)=d(x)

(доказывается обратным ходом алгоритма Евклида)

v₀(x)=0

v₁(x)=1

….

V_i+1(x)=v_i-1(x)-Q_k+1-i(x)v_i(x)

v(x)=v_k+2(x)

u(x)=v_k+1(x)

d(x³-2, x²-3x+2)=x³-2=(x²-3x+2)(x+3)+7x-8

x²-3x+2=(7x-8)((1/7)x-(13/49))-6/49

7x-8=-6/49(-943/6x+169/3)+0

D(x³-2, x²-3x+2)=1

		(1/7)x-(13/49)	X+3
0	1	-(1/7)x+(13/49)	(1/7)x2+(9/49)x+(10/49)

-(6/49)=(x³-2)(-(1/7)x+(13/49))+(x²-3x+2)( (1/7)x²+(9/49)x+(10/49))

Теорема:23 Китайская теорема об остатках для многочленов

Существует P₀(x), P₁(x),…,P_k-1(x) : (P_i(x),P_j(x))=1, i+j

<S(x)>_Pi(x)=U_i(x) (*) - китайский код многочлена

u_i=deg(P_i(x)

N=n₀+n₁+…+n_k-1

Существует единственный S(x): deg S(x)<N, который удовлетворяет (*)

Доказательство:

C(x)=П_i=0^k-1P_i(x)

C_j(x)=C(x)/P_j(x)

<D_j(x)C_j(x)>_Pj(x)=1 (M_ix_i=1(m_j)

S(x)=<_i=0^k-1D_i(x) C_i(x) U_i(x)>_C(x)

Пример:

P₀(x)=x²-2

P₁(x)=x²-3x+2

U₀(x)=1, U₁(x)=1

C(x)=(x³-2)(x²-3x+2)=x⁵-3x⁴+2x³-2x²+6x-4

C₀(x)=x²-3x+2

C₁(x)=x³-r

<D₀(x), C₀(x)>_Po(x)=1

<D₁(x), C₁(x)>_P1(x)=1 => D₀(x) (x²-3x+2)=1(x³-2)

D₀(x)=(-7/6)x²-(4/3)x-(5/6)

D₁(x)=(-7/6)x-(13/6)

S(x)=P₀(x)D₀(x)+ P₁(x)D₀(x)

Частный случай теоремы 23

X1	X2	…	Xn
y1	y2	…	yn

x_iy_j

S_i(x) : S_i(x)=y_i i=1,2…n

S(x) – многочлен проходящий через все узлы интерполяции – (x_i,y_i)

<S(x)>_X-Xi=y_i - остаток от деленияS(x) на (x-x_i) (Схема Горнера)

S(x)=(x-x_i)+c

C(x)=(x-x₁) (x-x₂)… (x-x_n)

C_i(x)=( ) (x-x_i-1) (x-x_i+1)…

<D_i(x)C_i(x)>_X-Xi =1

<D_i(x) (x-x₁) (x-x₂)… (x-x_i-1) (x-x_i+1)… (x-x_n)>_X-Xi =1

D_i(x) (x-x₁) (x-x₂)… (x-x_i-1) (x-x_i+1)… (x-x_n)=1

S(x)=_i=1ⁿD_i(x) C_i(x) U_i(x)=_i=1ⁿy_i - Многочлен Лагранжа

Через nточек можно провести многочленdeg<=n-1

Недостаток: При добавлении данных надо пересчитывать весь многочлен.

Интерполяционный метод Ньютона.

Подход:

X1	X2	…	Xn
y1	y2	…	yn

S₁(x) S₂(x) … S_n(x) (x-x₁)

S₁(x)=y₁ (x-x₂)

…. …

S_k(x)-S_k-1(x) (x-x_k-1)

x₁,x₂….x_k-1

* a||b₁ и a||b₂ (b₁;b₂)=1 => a||b₁b₂

по аналогии с *

S_k(x)-S_k-1(x)||(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_k-1)

S_k(x)-S_k-1(x)=A_k(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_k-1)

S_n(x)=A₁+A₂(x-x₁)+A₃(x-x₁)(x-x₂)+…+A_n(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n-1)

y₁=A₁ | x=x₁

y₂=A₁+A₂(x₂-x₁) | x=x₂

Пример:

x₁ x₂ x₃

-1 0 1

y₁ y₂ y₃ S₃(x) =A₁+A₂(x-x₁)+A₃(x-x₁)(x-x₂)

3 -1 2 3=A₁ | x=-1

-1=A₁+A₂(1) | x=0 | A₂=-4

2=A₁+A₂(2)+A₃(2)(1) | A₃=7/2

S₃(x)=3-4(x+1)+7/2(x+1)x

S₄(x)=S₃(x)+A₄(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)