Сравнение

a,bZ , m

a=b(mod m) |

a=b(m) | Отклонение по модулюm

b=<a>m |

(a-b) || m |

Существует множество А – это есть АхА={(a,b)| a,bA}

RAxA

R – бинарное отклонение на множестве А – это подмножество произведения декартовых множеств.

a R b

(a,b)R

a встепает в отношение сb, если(a,b)R

m – фиксированный модуль

Декартово произведение – множество пар

Выделим множество R, если два предм. a,b входят в R, то они вступают в отношение R (а вступает в отношение с b)

1. Бинарное отношение имеет характер равенства т.е. симметрия а R b=> b R c

b) Транзитивность аR b=> b R c => aR c

c) a R a

Теорема:10

Все отношения сравнения по mod(m)делит все множествоRнаm непересекающихся классов.

1) Все числа одного класса сравнимы друг с другом.

2) Числа из разных классов не сравнимы друг с другом по mod(m)

Доказательство:

1. Рассмотрим произвольное aR и фиксироманное m

A=lm+z = любое числоz можно поделить наmс остатком

0<=z<m z=r

0,1,2,…,m-1 в любой класс попадают числа которые имеют одинаковый остаток при делении наm (0,1,2,..)

2. Рассмотрим 2 элемента из одного класса

a=k(m)

b=k(m)

a=lm+k ; b=nm+k => a-b=m(l-n) || m ; a=b(m)

3. Элементы из разных классов не сравнимы по mod m

a=k(m) k=k1 => ab(m) (т.к. a-b не сравнимо m)

b=k1(m)

Теорема:11

Свойства сравнения:

1. a=b(m) ; m||k => a-b||m => a-b||k

2. M(k₁,k₂,..k_n)=m a=b(k₁) => a-b||k₁ a=b(k₂) => a-b||k₂ => a=b(m) _……… a=b(k_n) => a-b||k_n

Любое кратное делится на НОК.

a=b(m) <=> a-b||m

3. a=b(m) => ca=cb(cm)

Арифметика сравнений

Теорема:12

1. Сравнение по 1-му модулю можно по численно складывать и вычитать

2. Сравнение по 1-му модулю можно по численно перемножать.

Доказательство:

1. a=b(m) a-b||m => a-b+a₁-b₁||m

a₁=b₁(m) a₁-b₁||m

(a+a₁)-(b+b₁)||m <=>(a-a₁)=(b-b₁)||m

2. a=b(m) умножается наa₁ (по теоремам 11 и 3) =>

a₁=b₁(m) умножается наb

aa₁=bb₁(m)

a₁b=b₁b(m)

По транзитивности сравнимо aa₁=bb₁(m) ч.т.д.

Следствие:

Пункты 1,2 теоремы 12 можно можно обобщать на любое конечное число сравнений a=b(m) => aⁿ=bⁿ(m)

Пересекающиеся классы одинаковых остатков называют классами вычетов. Классы можно складывать и умножать между собой.

A+B=C aA, bB, a+bC

A B=D aA, bB, abD

Классов конечное число, для них легко определить таблицу Кэхи (сложение и умножение классов вычетов)

m=6 – 6 классов 0,1,2,3,4,5

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

Левоциркулярная матрица т.е. она образуется циклическим сдвигом на 1 элемент влево.

Классы используются как элементы.

Теорема 13

ac=bc(m) D(c,m)=d => a=b(m/d) m/dZ т.к.d – делитель.

Доказательство:

D(c,d)=c

D(m,d)=m

ac-bc||m => ac-bc=lm, lZ

l=(ac-bc)/m=(a-b)c₁/m₁=>(a-b)c₁||m₁ ; D(c₁,m₁)=b₁ =>(a-b)||m₁ => a=b(m₁) =>

=> a=b(m/d)

Следствие:

1. m||c D(m,c)=C

ac=bc(m) => a=b(m/C)

2. D(m,c)=1 ac=bc(m)=> a=b(m)

Пример: 24=4(10) =>(1)12=2(5) =>(2) 6=1(5)

Теорема:14 Обобщение арифметических операций.

Есть некоторая функция F(a,b,c…) от целых аргументов (полином)

F(a,b,c…)= _kC_k a^a b^b c^c… a,b,cZ

Пример: a²b³c+2a⁴b+… a,b,cZ

Тогда если a=a₁(m), b=b₁(m), c=c₁(m) => F(a,b,c…)=F(a₁,b₁,c₁…) (m)

Доказательство:

a=a₁(m), a^za=a^za₁(m)

b^zb=b^zb₁(m) => a^za.b^zb=a^za₁(m)b^zb₁(m)

Утверждение:1 Квадрат всякого нечетного числа сравнения с 1 поmod 8

4k+1 нечетное число.

(4k+1)²=16k²+8k+1=1(8)

Утверждение:1 Нечетное число в виде 4k+3 нельзя представить в виде суммы двух квадратов.

4k+3=x²+y²

Если x,y– четные или нечетные, то получаем четное число – не подходит.

Т.е. либо x – четное,y– нет, либо наоборот

Пусть х – четное, у – нечетное.

х²=0(4) –x – четное.

y²=1(8) – y – нечетное => y²=1(4)

x²+y²=1(4), а 4k+3=3(4) => несоответствие.

Определение:m – непересекающихся классов.

Если взять из всех классов по 1 представителю, такой набор называется полной системой вычетов по модулю m.

{0,1,2,…,m-1} – наименьшая положительная система вычетов.

{0,-1,-2,…,-m+1} – наименьшая отрицательная система вычетов.

аZ {a,a+1,a+2,a+3,…a+(m-1)}