Разбиение чисел

Число n=b₁+b₂+…+b_k b_i>0, n>0 b_i могут повторяться

n=a₁+a₂+…+a_k

a₁>=a₂>=…>=a_k

Упорядочены по убыванию

P(n,k) – число разбиений числаnнаkслагаемых

P(n)=ⁿ_k=1 P(n,k) – число всевозможных разбиений

P(0,0)=P(0)=1

P(6)=11

6

5+1

4+2

4+1+1

3+3

3+2+1

3+1+1+1

2+2+2

2+2+1+1

2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

n=a₁+a₂+…+a_k

Диаграмма Ферререса

Строиться для каждого разбиения числа n

16=6+4+4+2

      a₁

    a₂

    a₃

  a₄

Можно транспонировать

16=4+4+3+3+1+1

    a₁

    a₂

   a₃

   a₄

 a₅

• a₆

Теорема:30 Число разбиений числаn наkслагаемых = числу разбиений с максимальным элементомk

P(n,k)=

Доказательство:

????

Теорема:31 Число разбиений числаn попарно различные слагаемые = числу разбиений числаnна нечетные слагаемые

Доказательство:Возьмем произвольное разбиение на нечетные слагаемые

n=b₁+b₁+…+b₁ + b₂+b₂+…+b₂ +…+ b_p+b_p+…+b_p

r₁ r₂ r_p

b_i – нечетные

Возьмем r_i и возьмем двоичное разложение числа (столько раз встречаетсяb_i)

r_i=2^q1+2^q2+…+2^qp

(q₁>q₂>…>q_p)

b_p+b_p+…+b_p b_i2^qi

r_p

b_i2^q1+b_i2^q2+…+ b_i2^qpвсе они будут попарно различимы, т.к.b_i нечетно

т.о. Каждому способу разложения на рациональные нечетные слагаемые = способ разложения на попарно различные слагаемые.

Пример:

26=7+5+5+3+3+1+1+1

26=72⁰+52¹+32¹+12¹+12⁰=7+10+6+2+1

n=c₁+c₂+…+c_l оно старшеn=a₁+a₂+…+a_k

Если существует p<=min{l,k}: c_i=a_i, i<p c_p<a_p

Противоположный лексикографическому

n=n

…

n=1+1+1+…+1

Просмотрим группу не единичных слагаемых

Пусть t такое чтоd_t>1, a a_i=1, i>t

n=a₁+a₂+…+a_t-1+(a_t+1+1+…+1)=S Сумма хвостовых элементов

l=d_t-1

S1 S₁=n, r₁=1; d=1; s[ ] s_i r_i - rhfnyjcnm d hfp,btyb

| \- число элементов в разбиении

число элементов без учета кратности

S2 If (s1=1) stop

S3 sum:=0;

If (sd=1)

{ Sum:=sum+rd;

d:=d-1;

}

sum:=sum+Sd

rd=rd-1;

l=Sd-1;

if (rd>0) d=d+1;

Sd=l;

[rd=[sum/l];

l=<sum>_e;

if (l>0)

{d=d+1;

Sd=l; rd=1}

Пример:

n=9; d=1

sum=0; r₁=0 l=8

8+1

7+2

7+1+1

6+3

6+2+1

6+1+1

5+4

5+3+1

5+2+2

5+2+1+1

5+1+1+1+1

4+4+1

4+3+2

4+3+1+1

4+2+2+1

4+2+1+1+1

4+1+1+1+1+1

….

1+1+1+1+1+1+1+1

Производящие функции

Числовой ряд: {a_i}^oo_i=0

S₀=a₀

S₀=a₀+a₁

S₀=a₀+a₁+a₂

…

S₀=a₀+a₁+a₂+…+a_n

Говорят, что ряд сходиться если существует предел последовательно сти частных сумм, иначе ряд расходиться.

степенной ряд +=S(x)

a₀,a₁,a₂,…,a_k

C₀ⁿ, C₁ⁿ… C_kⁿ - количествоx элементных подмножеств

Сопоставляя комбинаторике последовательную функцию , которые называют производящей операции с рядами

А(х)=

B(x)=

1)A(x)+B(x)=

2)C(x)=

C_k=a₀b_k+a₁b_k-1+…+a_kb₀=- произведение Коши

Примеры производящих функций для последовательностей

1. {C_kⁿ}_k=0^oo

C_kⁿ=0, k>n

Ряд:

2. 1,2,4,8,…,2^k

Пусть|x|<1/2

a⁰, a¹, a²,…,a^k,…

Пусть|x|<1/a

{F_n}^oo_n=0 F₀=F₁=1 F_n=F_n-1+F_n-2 n>=2

F(x)= =

1-x-x²=0

x₁=(1/2)(-1+)

x₂=(1/2)(-1-)

1-x-x²=(x-x₁)(x₂-x)=-x₁x₂(1-x/x₁)(1-x/x₂)=*

a=1/x₁=2(1+)

b=1/x₂=2(1-)

*=(1-ax)(1-bx)

A=a/(a-b) B=-b/(a-b)

F(x)=

F_k=1/(a-b)(a^k+1-b^k+1)=1/ [((1/2)(1+))^k+1-((1/2)(1-))^k+1] Формула Бине