Построение фундаментальных циклов ориентированного и неориентированного графа и определение матриц фундаментальных циклов.

Содержание

Введение
1 Описание графа
1.1 Основные понятия о графе
1.2 Матрица смежности вершин
1.3 Матрица инциденций вершин
1.4 Список смежности вершин
1.5 Массив ребер
2 Фундаментальные циклы графа
2.1 Теоретическое введение
2.2 Блок-схема алгоритма определения Фундаментальных циклов графа

Введение

Граф можно рассматривать как множество точек и соединяющих эти точки линий со стрелками или без них.

Графы служат удобным средством описания связей между объектами.

Методы теории графов широко применяются в дискретной математике. Без них невозможно обойтись при анализе и синтезе различных дискретных преобразователей: функциональных блоков компьютеров, комплексов программ и т.д.

Обширное применение теории графов нашла в современной вычислительной технике и кибернетике. Особый интерес приобретает теория графов у инженеров конструкторов и системотехников в связи с ее широким использовании при проектировании РАЭ и ЭВА.

1 Описание графа

1.1 Основные понятия о графе

Графом G=(X,U) называется совокупность двух конечных множеств: множество вершин X={x₁,…,x_n} и множество ребер (дуг) U={u₁,…,u_n}, состоящего из некоторых пар элементов (x_i,x_j) множества X.

Если пары вершин (x_i,x_j) в множестве U являются неупорядоченными, то граф называется неориентированным (неографом), а пары (x_i,x_j) – ребрами этого графа. Если пары вершин (x_i,x_j) в множестве U являются упорядоченными, то граф называется ориентированным (орграфом), а пары (x_i,x_j) – дугами, при этом дуги обозначаются <x_i,x_j>.

1.2 Матрица смежности вершин

Матрицей смежности неориентированного графа G=(X,U) с n вершинами называется квадратная матрица А порядка n, элементы которой определяются следующим образом:

(1.2.1)

Для ориентированного графа:

(1.2.2)

Для неориентированного графа матрица смежности вершин симметрическая.

1.3 Матрица инциденций вершин

Матрицей инциденций неориентированного графа G=(X,U) с n вершинами и m ребрами называется матрица B размера n×m, элементы которой определяются следующим образом:

(1.3.1)

Для неориентированного графа:

(1.3.2)

Таким образом, матрица инциденций вершин для графа, поставленного в задаче и представленного на рисунке 1.1, рассчитанная по формуле 1.3.1, будет выглядеть следующим образом:

V₁

V₂

V₃

3

4

5

6

7

1

2

8

9

V₄

V₅

V₆

Рисунок 1.1

1.4 Список смежности вершин

Во многих задачах граф создается динамически, т.е. в ходе решения задачи меняется множество вершин и множество ребер (или дуг). В этом случае эффективным способом машинного представления графа является список смежности.

Для задания множества вершин, непосредственно достижимых из вершины v, используют линейный однонаправленный список. Каждый элемент такого списка включает данные (например, некоторое число) и указатель на следующий элемент списка. Список в целом задается указателем на его первый элемент (голову списка). Последний элемент списка содержит «пустой» указатель: в соответствии с примером:

v₁→v₂→v₇→…→v₉→0.

Задать для вершины v ее список смежности означает в произвольном порядке поместить в данные элементов списка номер вершин u, для которых в ориентированном графе есть дуга из v в u (v→u).

Составим список смежности вершин для графа, поставленного в задаче. Получим список следующего вида:

v₁→v₄→v₂→v₅→v₃→v₆→0;

v₂→v ₄→v₃→v₅→v₁→v₆→0;

v₃→v₄→v₁→v₅→v₂→v₆→0;

v₄→v₁→v₅→v₂→v₆→v₃→0;

v₅→v₁→v₄→v₂→v₆→v₃→0;

v₆→v₁→v₄→v₂→v₅→v₃→0;

1.5 Массив ребер