Математическая логика и теория алгоритмов1

Министерство образования и науки РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ЛЭТИ“

С. Н. ПОЗДНЯКОВ С. В. РЫБИН

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ „ЛЭТИ“

2004

Министерство образования и науки РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ЛЭТИ“

С. Н. ПОЗДНЯКОВ С. В. РЫБИН

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ „ЛЭТИ“

2004

УДК 510.6 ББК В12 П47

Поздняков С. Н., Рыбин С. В. Математическая логика и теория алго• ритмов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2004. 64 с.

Рассматриваются основные идеи, понятия и методы математической логики, интерес к которым вырос благодаря новым приложениям, появив• шимся за последнее время в связи с развитием информационных техноло• гий.

Может использоваться как для студентов дневной формы обучения, так и для вечерних и заочных факультетов технических вузов.

Рецензенты: кафедра математического анализа СПбГУ; доц. М. В. Дмитриева (СПбГУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Математическая логика, как и теория алгоритмов, появились задолго до возникновения компьютеров. Их возникновение было связано с внут• ренними проблемами математики, с изучением границ применимости ее теорий и методов.

Внастоящее время обе эти (взаимосвязанные между собой) теории получили прикладное развитие в так называемой компьютерной матема• тике (computer science). Вот несколько направлений их использования в прикладных областях:

–экспертные системы используют формально-логические выводы для имитации деятельности экспертов в различных областях;

–при проектировании микросхем используется теория булевых функций;

–тестирование программ основано на логическом анализе их структуры;

–доказательство корректности программ базируется на теории логическо• го вывода;

–алгоритмические языки связывают два важных понятия логики: поня• тие языка и понятие алгоритма;

–автоматизация доказательства теорем основана на методе резолюций, изучаемом в курсе логики.

Вданном учебном пособии изложены основные идеи, понятия и мето• ды математической логики, лежащие в основе как перечисленных, так и других ее применений.

1.Бинарные отношения и графы

1.1.Введение. Постановка задачи

Бинарные отношения уже встречались в школьном курсе математи• ки. Примерами таких отношений являются отношения неравенства, равен• ства, подобия, параллельности, делимости и пр. Бинарное отношение каж• дым двум объектам сопоставляет логическое значение “да”, если объекты находятся в этом отношении, и “нет” в ином случае. Другими словами, множество пар объектов разбивается на два подмножества, пары первого подмножества находятся в данном отношении, а второго – не находятся. Это свойство можно положить в основу определения бинарного отношения.

3

Определение 1.1. Пусть задано множество M . Рассмотрим декар• тово произведение этого множества на себя M × M . Подмножество R множества M ×M называется бинарным отношением R на множестве M . Если пара (x; y) принадлежит множеству R, говорят, что элемент x находится в отношении R с элементом y, и записывают xRy.

Пример 1.1. Введем отношение сравнимости R: x сравнимо с y по модулю m тогда и только тогда, когда x и y имеют одинаковые остатки от деления на m. То есть x ≡ y (mod m).

Рассмотрим введенное отношение R для случая m = 3 на множе• стве M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, тогда

Отношение R определяется множеством таких пар:

Пример 1.2. Рассмотрим в качестве M = R – множество веще•

ственных чисел, или, иными словами, множество точек вещественной прямой. Тогда M × M = R2 – множество точек координатной плос• кости. Отношение неравенства < определяется множеством пар R = = {(x; y)|x < y}.

Упражнение 1.1.

1.На множестве вещественных чисел задано отношение: xRy то•

гда и только тогда, когда одно из чисел вдвое больше другого. Изобразить на плоскости множество точек, определяющее это отношение.

2.На множестве M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} задано отношение делимости: xRy тогда и только тогда, когда x делится на y. Сколько пар содержит

это отношение? Перечислите эти пары.

4

3. Введем на множестве M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} отношение взаимной простоты, т. е. xRy тогда и только тогда, когда x и y взаимно просты: D(x; y) = 1. Сколько пар содержит это отношение? Перечислите эти

пары.

1.2.Свойства бинарных отношений

Определение 1.2. Бинарное отношение R на множестве M называ•

ется рефлексивным, если каждый элемент этого множества находится в отношении с самим собой: xRx x M .

Пример 1.3.

1.Отношение сравнимости рефлексивно (при любом натуральном m и на любом множестве целых чисел).

2.Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел не рефлексивно.

3.Отношение делимости рефлексивно (на любом множестве целых чисел, не содержащем нуля).

Определение 1.3. Бинарное отношение R на множестве M назы•

вается антирефлексивным, если ни один элемент этого множества не находится в отношении с самим собой: x M неверно, что xRx.

Пример 1.4.

1.Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел антирефлексивно.

2.Отношение взаимной простоты антирефлексивно на любом мно• жестве целых чисел, не содержащем 1 и −1, рефлексивно на множествах {1}, {−1},{−1; 1} и не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным

вином случае.

Определение 1.4. Бинарное отношение R на множестве M назы• вается симметричным, если вместе с каждой парой (x; y) в отношение входит и симметричная пара (y; x): x, y M xRy yRx.

Пример 1.5.

1.Отношение сравнимости симметрично при любом натуральном m и на любом множестве целых чисел.

2.Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел не симметрично.

5

3.Отношение делимости симметрично только на множестве по• парно взаимно простых целых чисел, не содержащем единицу. Например, на множестве простых чисел.

4.Отношение взаимной простоты симметрично на любом множе• стве целых чисел.

Определение 1.5. Бинарное отношение R на множестве M называ•

ется асимметричным, если ни одна пара не входит в отношение вместе с симметричной ей: x, y M , если xRy, то неверно, что yRx.

Пример 1.6.

1.Отношение строгого неравенства на множестве вещественных чисел асимметрично.

2.Отношение делимости не является асимметричным ни на каком множестве целых чисел, не содержащем нуля.

Определение 1.6. Бинарное отношение R на множестве M называ•

ется антисимметричным, если никакая пара, состоящая из разных эле• ментов, не входит в отношение вместе с симметричной ей: x, y M , если xRy и yRx то x = y.

Пример 1.7.

1.Отношение нестрогого неравенства на множестве веществен• ных чисел антисимметрично.

2.Отношение делимости является антисимметричным на любом множестве целых чисел, не содержащем нуля.

Упражнение 1.2.

1.Верно ли, что асимметричное отношение всегда антирефлексив• но? Докажите.

2.Верно ли, что симметричное отношение всегда рефлексивно? До• кажите.

3.Верно ли, что асимметричное отношение всегда антисиммет• рично? Докажите.

4.Верно ли, что отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и антисимметрично? Докажите.

6

Замечание 1.1. Свойство транзитивности хорошо иллюстрирует• ся отношением достижимости: если пункт y достижим из пункта x, а из пункт z – из пункта y, то пункт z достижим из пункта x.

Пример 1.8.

1.Отношение сравнимости транзитивно при любом натуральном m и на любом множестве целых чисел.

2.Отношение строгого (нестрогого) неравенства транзитивно на любом подмножестве вещественных чисел.

3.Отношение делимости транзитивно на множестве целых чисел, не содержащем нуля.

4.Отношение взаимной простоты не является транзитивным на любом множестве целых чисел. Например, 2 взаимно просто с 3, 3 вза• имно просто с 4, но 2 и 4 не взаимно просты.

Упражнение 1.3. Верно ли, что транзитивное и симметричное

отношение всегда рефлексивно? Докажите.

1.3.Способы задания отношений

Кроме явного перечисления пар, определяющих бинарное отношение, возможны следующие способы задания отношений.

• Задание процедурой проверки.

Пример 1.9.

1.Oтношение взаимной простоты проверяется процедурой нахождения наибольшего общего делителя: если D(x; y) = 1, то (x; y) входит в

отношение взаимной простоты.

2.Oтношение делимости проверяется процедурой деления с остат• ком: если x ≡ 0 (mod y), то (x; y) входит в отношение делимости.

3.Той же процедурой проверяется отношение равенства остатков при делении на m: если (x−y)≡0 (mod m), то (x; y) входит в отношение.

Для отношений на конечных множествах (которые являются основны• ми для дискретной математики) используются также следующие способы задания и описания отношений.

• Задание матрицей смежностей. Определим матрицу A размера

|M | × |M |, где |M | – количество элементов множества M . Пронумеруем элементы множества M . Тогда aij = 1, если элемент с номерoм i находится в отношении с элементом с номером j (iRj) и aij = 0 иначе.

7

Пример 1.10. Матрица смежностей для отношения делимости на множестве M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} выглядит так:

• Задание графом. Элементы множества изображаются точками плоскости и образуют множество вершин графа. Отношениe изображаются дугами (ребрами) графа: если (x; y) входит в отношение, то из вершины x проводится ориентированная дуга в y.

Пример 1.11. Граф для отношения сравнимости по модулю три на

Рис. 1.1

• Задание списком смежностей. Для каждого элемента множества перечисляются элементы, находящиеся с ним в данном отношении.

Пример 1.12. Список смежностей для отношения взаимной про• стоты на множестве M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} выглядит так:

Дадим интерпретацию свойств бинарных отношений на описывающих их графах и матрицах.

Теорема 1.1. Справедливы следующие утверждения.

1.Диагональ матрицы смежностей рефлексивного отношения со• стоит из единиц.

2.У симметричного отношения матрица смежностей симметрич•

на.

8

3.Граф рефлексивного отношения имеет петли в каждой вершине.

4.Граф симметричного отношения вместе с дугой, соединяющей x

сy, содержит дугу, соединяющую y с x.

5.Граф транзитивного отношения обладает следующим свойством: если из вершины x, двигаясь вдоль дуг, можно попасть в вершину y, то в графе должна быть дуга, непосредственно соединяющая x с y.

Упражнение 1.4.

1.Опишите свойства матрицы смежностей: a)антирефлексивного отношения; б) асимметричного отношения; в) антисимметричного от• ношения; г) транзитивного отношения.

2.Oпишите свойства графа: а) антирефлексивного отношения; б) асимметричного отношения; в) антисимметричного отношения.

1.4.Отношение эквивалентности

Определение 1.8. Бинарное отношение, обладающее свойствами ре•

флексивности, симметричности и транзитивности, называется отно• шением эквивалентности.

Пример 1.13. Отношение сравнимости (по любому модулю) явля•

ется отношением эквивалентности.

Сопоставим каждому элементу множества M все элементы, находя• щиеся с ним в данном отношении эквивалентности: Mx = {y M | xRy}. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2. Множества Mx и My либо не пересекаются, либо сов•

падают.

Доказательство. Все элементы одного класса эквивалентны между собой, т. е. если x, y Mz , то xRy. Действительно, пусть x, y Mz , следо• вательно xRz и yRz. По симметричности отношения R имеем zRy. Тогда, в силу транзитивности, из xRz и zRy получаем xRy.

9