Теория алгоритмовалгоритмический подход

Предисловие редактора перевода

5

Предисловие

7

Глава 1. Введение

11

1.

Графы. Определение

11

2.

Пути и маршруты

13

3.

Петли, ориентированные циклы и циклы

16

4.

Степени вершины

18

5.

Подграфы

18

6.

Типы графов

19

7.

Сильно связные графы и компоненты графа

23

8.

Матричные представления

25

9.

Задачи

27

10. Список литературы

28

Глава 2. Достижимость и связность

29

1.

Введение

29

2.

Матрица достижимостей и контрадостижимостей

29

3.

Нахождение сильных компонент

33

4.

Базы

37

5.

Задачи, связанные с ограниченной достижимостью

40

6.

Задачи

41

7.

Список литературы

42

Глава 3. Независимые и доминирующие множества. Задача о

43

покрывающих множествах

1.

Введение

43

2.

Независимые множества

44

3.

Доминирующие множества

50

4.

Задача о наименьшем покрытии

53

5.

Приложения задачи о покрытии

63

6.

Задачи

68

7.

Список литературы

71

Глава 4. Раскраски

75

1.

Введение

75

2.

Некоторые теоремы и оценки, относящиеся к хроматическим числам

76

3.

Точные алгоритмы раскраски

79

4.

Приближенные алгоритмы раскрашивания

90

5.

Обобщения и приложения

92

6.

Задачи

94

7.

Список литературы

97

Глава 5. Размещение центров

98

1.

Введение

98

2.

Разделения

99

3.

Центр и радиус

101

4.

Абсолютный центр

102

5.

Алгоритмы нахождения абсолютных центров

104

6.

Кратные центры (р-центры)

111

7.

Абсолютные р-центры

112

8.

Алгоритм нахождения абсолютных р-центров

114

9.

Задачи

123

10. Список литературы

126

Глава 6. Размещение медиан в графе

127

1.

Введение

127

2.

Медиана графа

127

3.

Кратные медианы (р-медианы) графа

129

4.

Обобщенная р-медиана графа

132

5.

Методы решения задачи о р-медиане

133

6.

Задачи

141

7.

Список литературы

143

Глава 7. Деревья

145

1.

Введение

145

2.

Построение всех остовных деревьев графа

148

3.

Кратчайший остов (SST) графа

158

4.

Задача Штейнера

166

5.

Задачи

168

6.

Список литературы

172

Глава 8. Кратчайшие пути

175

1.

Введение

175

2.

Кратчайший путь между двумя заданными вершинами s и t

177

3.

Кратчайшие пути между всеми парами вершин

189

4.

Обнаружение циклов отрицательного веса

191

5.

Нахождение кратчайших путей между двумя заданными вершинами

193

6.

Кратчайший путь между двумя заданными вершинами в

197

ориентированном ациклическом графе

7.

Задачи, близкие к задаче о кратчайшем пути

201

8.

Задачи

211

9.

Список литературы

214

Глава 9. Циклы, разрезы и задача Эйлера

217

1.

Введение

217

2.

Цикломатическое число и фундаментальные циклы

217

3.

Разрезы

221

4.

Матрицы циклов и разрезов

225

5.

Эйлеровы циклы и задача китайского почтальона

227

6.

Задачи

239

7.

Список литературы

241

Глава 10. Гамильтоновы циклы, цепи и задача коммивояжера

242

1.

Введение

242

ЧАСТЬ I

245

2.

Гамильтоновы циклы в графе

245

3.

Сравнение методов поиска гамильтоновых циклов

259

4.

Простая задача планирования

262

ЧАСТЬ II

265

5.

Задача коммивояжера

265

6.

Задача коммивояжера и задача о кратчайшем остове

268

7.

Задача коммивояжера и задача о назначениях

284

8.

Задачи

304

9.

Список литературы

307

10. Приложение

308

Глава 11. Потоки в сетях

310

1.

Введение

310

2.

Основная задача о максимальном потоке (от s к t)

311

3.

Простые варианты задачи о максимальном потоке (от s к t)

325

4.

Максимальный поток между каждой парой вершин

329

5.

Поток минимальной стоимости от s к t

339

6.

Потоки в графах с выигрышами

353

7.

Задачи

364

8.

Список литературы

367

Глава 12. Паросочетания, транспортная задача и задача о назначениях

368

1.

Введение

368

2.

Наибольшие паросочетания

371

3.

Максимальные паросочетания

389

4.

Задача о назначениях

404

5.

Общая задача построения остовного подграфа с предписанными

411

степенями

6.

Задача о покрытии

416

7.

Задачи

417

8.

Список литературы

420

Приложение 1. Методы поиска, использующие дерево решений

422

1.

Принцип поиска, использующий дерево решений

422

2.

Некоторые примеры ветвления

424

3.

Типы поиска, использующего дерево решений

424

4.

Применение границ

426

5.

Функции ветвления

426

Предметный указатель

427

Предметный указатель

Активный цикл см. Маршрут

- - для задачи о назначениях 405—

замкнутый активный 358, 364

407

Алгоритм "беспорядка" ["out-of-kilt"]

- - - транспортной задачи 413

339

- венгерский 405

- двойственный решения задачи о

- - - - покрытии наименьшей

потоке минимальной стоимости

мощности (ЗНПМ) 416

351—353

- - - - - разбиении (ЗНР) 55

- Дейкстры решения задачи о

- - - - потоке между каждой парой

кратчайшем пути между двумя

вершин 331—334

заданными вершинами s и t с

- - - - раскраске и использованием

неотрицательной матрицей

дерева поиска 88—90

весов 174—183

- Робертса и Флореса порождения

- Краскала построения кратчайшего

гамильтонова цикла 249—253

остова графа 160—162

- Флери построения эйлерова цикла

- направленного древовидного

230

поиска для задачи о р-медиане

- Флойда решения задачи о

138

кратчайшем пути между всеми

- - поиска для задачи о р-медиане

парами вершин 189—190

139—144

- Хакими нахождения абсолютного

- нахождения абсолютного в-центра

центра 104, 105

114, 115

- - модифицированный 107—110

- основной для задачи о потоке

- штрафования вершин для задачи

минимальной стоимости 339—

коммивояжера 285—295

342

Алгоритмы приближенные решения

- поиска, использующего дерево

задача о раскраске 90—91

решений для задачи о

Антибаза [contrabasis] 38

коммивояжере 285—295

База [basis] 37—40

- приближенный для задачи о р-

- сильная [power] 39

медиане 139—141

Булевское (логическое) выражение

- Прима построения кратчайшего

64

остова графа 162—163

Вершина [vertex] 11

- расстановки пометок в задаче о

- внешняя [outer] 374—378

максимальном потоке 314—315

- внутренняя [inner] 374—375

- решения задачи китайского

- конечная [final] 11

почтальона 331, 332

- концевая [terminal] 11

- - - о кратчайших путях между двумя

- начальная [initial] 11

заданными вершинами 195, 196

Вершина несущественная,

- - - - кратчайшем пути между двумя

избыточная [inessential] 33

заданными вершинами s и t с

- пропускная способность 326

общей матрицей весов 183—

- существенная, неотъемлемая

189

[essential] 33

- - - - назначения 405

- экспонированная [exposed] 371

- - - - - матричная форма 406, 407

Внешне устойчивое множество см.

- - - - наибольшем паросочетании

Доминирующее множество

(ЗНПС) 381—, 383

вершин 40

- - - - наименьшем покрытии (ЗНП),

Внутреннее произведение вершин

использующий дерево поиска

245

55

Выбор места для склада 129

- проекта 45

- остовное [spanning tree] (см. Остов)

Гипотеза четырех красок 79

145—224

Граф [graph] 11

- - длиннейшее 163

- антисимметрпческий 20

- - процедура порождения 149—157

- взвешенный 15

- - расщепление [division] 153

- двудольный [bipartite] 21, 405, 412

- решения для поиска [search tree]

- - неориентированный 21

422—427

- - ориентированный 21

- - ветвление 422, 424

- дополнение 46

- - границы 426

- инкрементальный [incremental] 321,

- - для поиска по глубине 425

339, 350, 352, 360

- - - - - ширине 425

- Куратовского 23

- - висячая вершина 423

- МунаМозера 70

- - разбиение 424

- неориентированный [nondirected] 11

- - функции ветвления 426—427

- - двойник 11

- сращивание [merging] 153

- непланарный [nonplanar] 23

- цветущее [blossomed] 376

- несвязный [disconnected] 23

- Штейнера наикратчайшее 167—169

- односторонне связный или

- элементарное преобразование 149

односторонний [unilateral] 23

Диаметр графа 11, 125

- ориентированный [directed] 11

Доминирующее множество вершин

- остовов [tree graph] 157

40

- планарный [planar] 22, 79

- - - минимальное [minimal] 50

- полный [complete] 19

- - - наименьшее [minimum] 50

- - антисимметрический 20

Достижимое множество 29

- - симметрический 20

Достижимость [reachability] 23

- реберный [line] 237

Дуга [arc] 11

- редуцированный [reduced] 254

- вес [weight] (Длина [length],

- r-хроматический [r-chromatic] 75

стоимость или цена [cost] 15,

- сильно связный или сильный

201

[strong] 23

- надежность [reliability] 201

- симметрический [simmetric] 20

- нижняя граница потока через 310

- слабо связный или слабый [weak] 23

- обратная 313, 356

- со взвешенными вершинами [vertex-

- поток, входящий в 354

weighted] 15

- - выходящий из 354

- - - дугами [arc-weighted] 15

- пропускная способность 202, 282,

- транзитивный [transitive] 33

313

- унитарный [unitary] 323

- прямая 313, 356

Густота cм. Кликовое число 43

Задача государственного

Дерево [tree] 145—172

районирования [political

- альтернирующее 374

districting] 65

- аугментальное [augmenting] 375

- об остовном графе с

- венгерское 380—382

предписанными степенями

- ориентированное [directed] 145—

[degree-constrained partial graph

147, 240

problem] 368, 411—414

- китайского почтальона 231—237

- - раскраске 375

- нахождения ДОПУСТИМОГО

- - - решение методом динамического

потока минимальной стоимости

программирования 80—84

310

- - - - - программирования, 1, 84—46

- о доставке молока или почты

- - - сведение к ЗНП 86—88

[delivery of post] 231

- - распределении ресурсов 94

- - Кёнигсбергских мостах 228

- размещения минимаксная 98, 127

- - коммивояжере 242—309

- - минисуммная 98, 127

- - - минимаксная 244

- сетевого планирования [network

- - - минисуммная 244

planning] 65

- - - нижняя граница из задачи о

- синхронизации линии сборки

кратчайшем остове 266, 279

[assembly line balancing] 65

- - - - - - - - назначениях 265, 297—

- теории расписаний 94

303

- транспортная (ТЗ) 371, 412—416

- - кратчайших путях между двумя

Задача Штейнера 166—169

заданными вершинами 195

- - евклидова 167

- - кратчайшем пути между

- - линейная 169

заданными вершинами s и t

- - на графах 166, 167

175—189

Информационный поиск [retrieval

- - - - - - - - - - с неотрицательной

information] 63

матрицей весов 177—183

Исследование структуры

- - ферзях на шахматной доске 70

организации 39

- - максимальном паросочетании

Источник [source] 310

(ЗМП) 368—371

Клика графа [clique] 46

- - - потоке (от s к t) 310—325

Кликовое число [clique number] 43

- - минимальном покрытии (ЗНПО)

Компонента графа односторонняя 24

369

- - сильная 24, 33—36

- - многопродуктовом потоке

- - слабая 24

[multicommodity] 311, 325

Компрессия [compression] матрицы

- - назначениях (ЗН) [assignment

297

problem] 284, 404—411

Константа «проникновения»

- - наибольшем паросочетании

[penetration] 114

(ЗНПС) 370, 375

Контрадостижимое множество

- - наименьшем покрытии 43, 53—68

[reaching set] 30

- - - - вычисление нижней границы 60

Контур см. Орцепь замкнутая

- - - - приложения 63—68

простая 17

- - - - упрощение 54

- гамильтонов 17, 157, 237, 242—309

- - покрытии наименьшей мощности

- - алгебраический метод нахождения

(ЗПНМ) [minimum cardinality

245—249

covering problem] 370, 416

- независимый [independent] 218

- - потоке минимальной стоимости от

Корень [root] дерева 374

s к t 310, 339

- ориентированного дерева 146

- - потоках с выигрышами 311, 353—

- - - замена 193

364

Коцикломатпческое число 218

Кратные центры [multiple centres] 111

- - - наибольшее [maximum] 45, 65

Кратчайшее дерево Штейнера 166—

- - ребер [independent link set] 66

167

- - - наибольшее 66

Кратчайший остов графа [shortest

Область 114

spanning tree] 158—161

Обход лабиринта 240

Критический путь [critical path] 197—

Орцепь см. Цепь ориентированная 14

200

- замкнутая 17

\lambda-оптимальность 140—141

- - простая [elementary circuit] 17

Максимальный полный подграф см.

Остов [spanning tree] 145, 224

Клика 46

- число 148

Маршрут [chain] 4

Отображение [mapping] 11

- аугментальный [augmenting] 356

Паросочетание [matching] 66, 368—

- - инкрементальная пропускная

420

способность [incremental

- максимальное [maximal] 389

capacity] 356

- наибольшее [maximum] 66, 368

- выигрыш 356

- совершенное [perfect] 389

- замкнутый [cycle] 17

Передаточное число [transmission

- - активный [active cycle] 358—364

number] 127—128

Маршруты полетов самолетов 64

- - внешнее [out] 128

Матрица достижимостей [reachability

- - внутреннее [in] 128

matrix] 29, 30, 31

ПЕРТ 197

- инциденций [incidence matrix] 26,

Петля [loop] ? 6

148, 155, 170, 226, 239, 379

Плотность см. Кликовое число 43

- контрядостижимостей [reaching] 30,

Подграф [partial subgraph] 19

31

- максимальный [maximal subgraph]

- ограниченных достижимостей 33

23, 24

- редуцированная 406

- остовный [partial graph] 18

- смежности [adjacency matrix] 25

- порожденный [subgraph] 18

- - модифицированная 245

Покрытие [covering] 66, 67, 369

Медиана [median] 98, 127—143

- минимальное [minimal] 369

- абсолютная 130

- наименьшее [minimum] 66, 67

- внешняя 128

Полустепень захода [indegree] 18

- внешне-внутренняя 129

- исхода [outdegree] 18

- внутренняя 128

Пометка предшествования 153

- кратная см. р-медиана 129

- - изменение 153

Метод критического пути (МКП)

Поток [flow] 310

[critical path method] 197

- аугментальная цепь [flow-

Наименьшее доминирующее

augmenting chain] 313

множество ребер см.

- в графах с выигрышами 356

Наименьшее покрытие 66, 67

- - - - - в вершинах 364

Независимое множество вершин

- - - - многими источниками и

[independent vertex set] 44

стоками 325

- - - максимальное [maximal] 44—48,

- - - - пропускными способностями

80, 86, 87

дуг и вершин 326

- допустимый [feasible flow] 310,

- внутреннее [in] 100

353—358

Размещение [location] 98

- - максимальный 354

- аварийных служб и пунктов

- - оптимально-максимальный 354

обслуживания 101—102, 106,

- - оптимальный 354

107

- конформальный [conformal] 325

- нескольким центров обслуживания

Потоковая эквивалентность 330

112

Проверка электрических,

- центров 51, 52, 98—125

телефонных или

Разрез [cut-set] 221—225, 312, 313

железнодорожных линий 231

- величина 312

Псевдовершина [pseudovertex] 375

- для ориентированного графа 223,

Пустое множество 11

224

Путь [path] 13

- правильный [proper] 222, 223

- вес, длина или стоимость [length] 15

- фундаментальный 224, 225

- длина или мощность [cardinality] 16

- - матрица 225, 226, 239

- замкнутый [path] 16

Раскраска [colouring] 75—96

- - элементарный 17

- оптимальная независимая 80, 84

- кратчайший 173, 189—193

Ребро [link] 11

- надежность 201, 202

- искусственное 232

- ответвление [deviation] 195

r-подграф 80

- пропускная способность 202

- максимальный 80—84

- самый длинный 198

Смежные дуги 14

- с наибольшей приведенной

- вершины 14

пропускной способностью

Соответствие 11

206—211

- обратное 13

р-кратный внешний центр [p-

Специальный остовный подграф

outcentre] 112

[equally partial] 391

- внутренний центр [p-incentre] 112

Степень вершины [degree] 18

р-медиана 129

- - k-шаговая 91

- абсолютная 130

Строгое пересечение (SI) [strict

- внешняя 130

intersection] 117—118

- внутренняя 130

Сток [sink] 310

- обобщенная 132, 139

(s-t)-разрез 202, 206

р-центр (кратный центр) 41, 111, 112

Теорема Кенига 418

- абсолютный 112, 113

- - и Холла 417

- - нахождение 113—123

- о максимальном потоке и

Радиус 101

минимальном разрезе 312, 313

- абсолютный внешний 103

- - пяти красках 79

- - внутренний 101

Точка Штейнерa 168, 169

- внешне-внутренний 102

Транзитивное замыкание графа 33

- внешний 101

Турнир [tournament] 21

Радиус внутренний 101

Хроматическое число [chromatic

Разделение [separation] 99—101

number] 75

- внешнее [out] 100

- - верхняя оценка 78

- - нижняя оценка 77, 78

- - мультицепной метод нахождения

Цветок [blossom] 375—379

253, 259

- крайний [outermost] 375

- - сравнение методов поиска 259—

- срезание [shrinking] 375—379

262

Центр графа 98, 103

- фундаментальный 220, 221

Цепь альтернирующая [alternating

- эйлеров 227—240

path] 371

Цикломатическое число [cyclomatic

- аугментальная [augmenting path]

number] 217, 218

372, 372

Число Бетти см. Цикломатическое

- ориентированная (орцепь) [simple

число 217, 218

path] 14

- внешнего разделения 100

- простая [elementary path] 14

- внутреннего разделения 100

- эйлерова см. Эйлеров цикл 227, 240

- доминирования 43

Цикл гамильтонов 17, 242—309

- независимости [independence

- ориентированный (орцикл) 17

number] 43, 44

- - матрица 225, 239