§7 Системы лду 1 порядка с постоянными коэффициентами; операционный метод решения задачи Коши.
Пусть
Тогда уравнение
определяет систему ЛДУ, а
(1)
- задачу Коши с начальными условиями
для этой системы.
Например, для
система (1) имеет явный вид:
Предположим, что функции
являются
оригиналами. Выполним для уравнения
(1) преобразование Лапласа:
Таким образом, преобразование Лапласа
отображает задачу Коши для системы ЛДУ
во множестве оригиналов в систему
линейных алгебраических уравнений
во
множестве изображений, причем матрица
СЛАУ равна
,
а вектор правых частей равен
.
Соответствующая СЛАУ для рассматриваемого
примера имеет вид:
Решение СЛАУ будем искать по теореме
Крамера
Обратное преобразование Лапласа
восстанавливает оригинал - вектор-решение
задачи Коши