- •§1 Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры. 1
- •§2 Ду 1 порядка с разделяющимися переменными
- •§3 Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка (лду); метод вариации постоянной.
- •§4 Ду 1 порядка «в полных дифференциалах».
- •§ 5 Метод Эйлера численного решения задачи Коши
- •§ 6 Типовой расчет по теме «Численное решение задачи Коши».
- •§7 Системы лду 1 порядка с постоянными коэффициентами; операционный метод решения задачи Коши.
§ 5 Метод Эйлера численного решения задачи Коши
Пусть функции непрерывны в прямоугольной области
Из теоремы существования (§2) следует:
1) в некоторой окрестности существует единственное решениеу(х) задачи Коши ;(1)
2) через каждую точкуМ(х,у) этой окрестности проходит «своя» интегральная кривая, причем ДУ определяет касательную прямую к этой интегральной кривой:tg(αkac)=f(x,y).
Постановка задачи:«найти приближенное значениеy*(x*)решенияy(x*)задачи Коши (1) в точке».
Для нахождения приближенного значения у*(x*) разделим промежуток[ x0,x*] точкамиx0,xi= x0+ih; i=1:n наn равных частей с шагомh=(x*-x0)/n.
1)За приближенное значение решения задачи Коши в точке х1=xo+h примем ординату касательной к интегральной кривой в точке М0 : . Известно, что погрешность такой замены .
2) Повторив аналогичные построения для точки М1, примем за приближенное значение решения в точкеx2=x1+h :
3) Очевидно, что общая формула подобной «по-шаговой» итерационной процедуры метода Эйлера имеет вид: и приближенное значение
Замечания.
1) Геометрически метод Эйлера численного решения задачи Коши сводится к замене на промежутке [x0,x*] интегральной кривойy(x) «ломаной Эйлера», составленной из отрезков касательных к соответствующим интегральным кривым в точках разбиенияxi=xo+ih.
2) На практике для получения приближенного значения с заданной погрешностью εиспользуют «алгоритм измельчения разбиений отрезка [x0;x]”:
- Вычисляют значение при разбиении с шагомh1.
- Вычисляют значение при разбиении с шагомh2=h1/2и сравнивают модуль разностис заданной погрешностьюε.
= процедуру измельчения продолжают до тех пор, пока для двух последовательных разбиений не будет выполнено неравенство
==================================================================
§ 6 Типовой расчет по теме «Численное решение задачи Коши».
Задание. Исследовать существование и единственность решения задачи Коши
и методом Эйлера найти с заданной погрешностьюEPSприближенное значение решения в точкеxk=x0+0.25, используя равномерное разбиение интервала [X0,Xk] с начальным шагомh=0.05.
[I] Так как функции непрерывны в R2, задача Коши имеет единственное решение.
[II] Введем равномерное разбиение промежутка [0;0.25] на n частей с шагом h=0.25/n : x0; xi=i∙h; i=1,2,..,n и выполним вычисления по рекуррентной формуле:
для nk =5∙k;k=1,2,.., последовательно удваивая количество интервалов разбиения до тех пор, пока не будет выполнено неравенство ∆k= |y5k-y5(k-1)|≤EPS.
Заметим, что все промежуточные вычисления следует выполнять в «полной разрядной сетке».
В таблице приведены результаты вычислений для n1=5 и n2=10, округленные до 10-5.
i |
xi |
yi |
f(xi,yi) |
h∙f(xi,yi) | ||||
n1 |
n2 | |||||||
0 |
0 |
0.00 |
0.90000 |
0.19000 |
0.00475 | |||
|
1 |
0.025 |
|
0.90475 |
|
0.20517 |
|
0.00475 |
1 |
2 |
0.050 |
0.90950 |
0.90988 |
0.22060 |
0.21987 |
0.01103 |
0.00513 |
|
3 |
0.075 |
|
0.91538 |
|
0.23410 |
|
0.00550 |
2 |
4 |
0.10 |
0.92053 |
0.92123 |
0.24920 |
0.24790 |
0.01246 |
0.00585 |
|
5 |
0.125 |
|
0.92743 |
|
0.26129 |
|
0.00620 |
3 |
6 |
0.15 |
0.93.298 |
0.93396 |
0.27600 |
0.27426 |
0.01380 |
0.00653 |
|
7 |
0.175 |
|
0.94082 |
|
0.28686 |
|
0.00686 |
4 |
8 |
0.20 |
0.94678 |
0.94799 |
0.3011 |
0.29907 |
0.01506 |
0.00717 |
|
9 |
0.225 |
|
0.95547 |
|
0.31091 |
|
0.00748 |
5 |
10 |
0.25 |
0.96184 |
0.96324 |
|
|
|
0.00777 |
Так как ∆y=|0.96324-0.96184|=0.00140<EPS=0.002, итерационный процесс прекращаем.
Результат: y(0.25)≈ 0.96324