§2 Ду 1 порядка с разделяющимися переменными

Рассмотрим ОДУ 1 порядка y’(x)=f(x,y) и точку (x₀,y₀) на плоскости.

Ответ на вопрос существования его решения дает следующая

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши ).

«Если в области функции двух переменныхнепрерывны и точка, задача Коши имеет в областиDединственное решение – дифференцируемую функцию у(х,х₀,у₀)».

Замечания.

1) По теореме через каждую точкуобластиDпроходитодна интегральная криваяy=y(x,x₀,y₀).

2) Если область определения функции y(x,x₀,y₀) является объединением нескольких интервалов, решением задачи Коши она является лишь втой ее части, в которой находится начальная точка (х₀,у₀) и в которой эта функция непрерывна и дифференцируема.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными (ДУРП) называется ДУ 1 порядка

Если функция p(x) непрерывна на промежутке (a;b), а функцияg(y) непрерывно дифференцируема на (c;d), через каждую точку прямоугольной областипроходит единственная интегральная кривая этого ДУ.

Рассмотрим алгоритм решения ДУРП на примере: (1)

1. 

Так как условия теоремы выполнены , задача Коши слюбыми начальными условиямиимеетединственноерешение.

2) Очевидно, что функция-константа удовлетворяет ДУ: , так чтоy(x)≡0–частное решениеДУ. (2)

2. Домножим ДУ на dx ), разделим его нау² и получим ДУс разделенными переменными:

(2)

После интегрирования получим уравнение

[Ф(x,y(x),С)=0](3)

которое при всех допустимых значениях константы С определяет множество решений ДУ и называется “общим интегралом” ДУ.

Если из общего интеграла удается записать явное выражение функции

Ф(x,y(x),С)=0 ,

его называют «общим решением» ДУ.

Таким образом, множество решений ДУ(1)

(4)

3. Решение задачи Коши следует искать в множестве (4). Например, для начального условия y(0)=1 найдем его из общего решения:

На рис.1 приведены графики y(x)≡0;

_{Обратите внимание :}

_{1)ДУ определено на всей плоскости; 2) функция у(x) является решением ДУ на R/{t1,t2}, но 3) решением задачи Коши с начальным условием y(0)=1 функция у(x) (как дифференцируемая функция) является лишь на (t1;t2). 4) аналогично, функция у(x) является решением задачи Коши с начальным условием y(- 2)=1/(1-ln(5)) на (-∞;t1), а с условием y(2)= 1/(1-ln(5)) – на (t2;+ ∞); решением же задачи Коши с начальным условием y(2)=0 является функция y(x)≡0; x€R.}

Замечания.

1) В общем случае ДУРП имеет вид

.

Алгоритм его решения:

1. Находятся корни функцийи соответствующие «частные решения» ДУ - функции-константы: .

2. Записывается ДУ с разделенными переменными:

,

после интегрирования которого находится «общий интеграл» ДУ:

2) С помощью подходящих преобразований к ДУРП приводятся некоторые типы дифференциальных уравнений. Способы таких преобразований можно найти в математических справочниках; в «Сборнике задач по математике; ч.2; А.В. Ефимов,Б.П.Демидович» эти способы иллюстрируются примерами.

Например,

1) ДУ вида y’=f(ax+by)dy=f(ax+by)dxприводятся к ДУРП, если ввести «новую» функцию

2)Cпомощью подстановкиy(x)=xU(x) к ДУРП сводится “Однородное ДУ”:

Например,