87.Прямое и обратное преобразования Фурье.

Периодическая функция времени, подчиняющаяся условиям Дирихле(Функция – есть функция, ограниченной вариации на каждом конечном интервале , на котором она ограничена и имеет конечное число относительных максимумов и минимумов и точек разрыва первого рода), может быть разложена в ряд Фурье.

,

где k – порядок гармоники, – основная гармоника процесса.

, , - коэффициенты Фурье

= + = +

+ =

Подставим значения , , :

Введем обозначения:

) , e →1

) - частотный спектр сигнала в комплексном виде

x(t)

X(t) – обратное преобразование Фурье (временной сигнал в частотный спектр)

Этот ряд в комплексной форме имеет вид:

, k=±1, ±2, ±3, ...

X(t) - обратное преобразование Фурье

- прямое преобразование Фурье

88.Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию z(s) комплексного переменного (изображение) с функцией z(t) действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Сущность и основные свойства преобразования Лапласа

Линейность

Изображение линейной комбинации функций равно линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.

где a и b – произвольные комплексные числа.

Теорема подобия

где a>0.

Дифференцирование оригинала

...

Дифференцирование изображения

Интегрирование оригинала

Интегрирование изображения

Теорема смещения

Теорема запаздывания

Теорема умножения (свёртки)

Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций:

Оригинал Изображение

;

;

;

;

;

;

;

(ступенчатая функция);

(импульсный сигнал).

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.

• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.

• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.

• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

• Решение нестационарных задач математической физики.

Вывод: применение изображения Лапласа позволяет заменить операции диффер. и интегрирования на обычные алгебраические позиции.

89.Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной - оператор Лапласа, такая что:

-преобразование Лапласа от временной функции

где z(t) – оригинал; z(s) - изображение

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция действительного переменного, такая что:

где — некоторое вещественное число

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. Случай : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

2. Случай δ > δ_a: преобразование Лапласа существует, если интеграл

существует для каждого конечного

t₁ > 0 и для t > t₂ ≥0

3. Случай δ > 0 или δ > δ_a (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции z(t) (производная к z(t)) для δ > δ_a.

Примечание: это достаточные условия существования.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение z(s) — аналитичная функция для δ ≥ δ_a и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём

для

90.Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью весьма простых средств решать сложные математические задачи. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования

Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования Именно, если существует производная , для которой существует и f(0) = 0, то

Лапласа оператор, лапласиан, дельта-оператор, S-оператор, линейный дифференциальный оператор, который функции j(x1, x2,..., xn) от n переменных x1, x2,..., xn ставит в соответствие функцию

S(j)= .

В частности, для функции j(x, y) двух переменных х, у Лапласа оператор имеет вид

S(j) = ,

а для функций одной переменной j(x) Лапласа оператор совпадает с оператором второй производной

S(j) = .

Лапласа оператор встречается в тех задачах математической физики, где изучаются свойства изотропной однородной среды (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости и т.п.).

Уравнение S = 0 обычно называется Лапласа уравнением; отсюда и произошло название Лапласа оператор

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция имеет в окрестности точки непрерывную вторую производную , то, как это следует из формулы Тейлора

при

при

вторая производная есть предел

Если, переходя к функции от переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки рассматривать её -мерную шаровую окрестность радиуса и разность между средним арифметическим

функции на границе такой окрестности с площадью границы и значением в центре этой окрестности , то в случае непрерывности вторых частных производных функции в окрестности точки значение лапласиана в этой точке есть предел

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

где — объём окрестности

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в [1].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

92.Изображение функции-оригинала z(t) называют функцию z(s) комплексной переменной

S = δ + jω, которую определяют равностью:

- интеграл Лапласа

s - оператор Лапласа

Совокупность всех оригиналов z(t) называют пространством оригиналом, а совокупность изображений z(s) –пространством изображений.

z(t)=1(t) – единичная функция Хэвисайда или единичная ступенчатая функция

Используя интеграл Лапласа получим:

, s>0

93. Изображение функции-оригинала z(t) называют функцию z(s) комплексной переменной

S = δ + jω, которую определяют равностью:

- интеграл Лапласа

s - оператор Лапласа

Совокупность всех оригиналов z(t) называют пространством оригиналом, а совокупность изображений z(s) –пространством изображений.

x(t)=1(t) – единичная функция Хэвисайда или единичная ступенчатая функция

Используя интеграл Лапласа получим:

, s>0

Используя свойства преобразования Лапласа (подобие):

,то для любой постоянной а ˃ 0

Решим:

Получаем:

, c- константа

94. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.

Звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, называются типовыми динамическими звеньями.

Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

(2)

или передаточной функцией:

(3)

Примеры звена: Усилители, например, постоянного тока