Интегральные уравнения

y(t)=

Формально его можно представить в виде: y=Ay+f, A – интегральный оператор.

Справочник геометрии Гильбертова пространства.

Пусть H линейное пространство, оно называется гильбертовым, если в нем заадается скалярное произведение, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. (U,V)>0 U

2. (U+V,W)=(U,W)+(V,W)

3. (U,V)=

Пусть MH По определению L=M^(ортогональное дополнение), если L={nH: UV (VM)}, тогда L подпространство H, т.е.

а) LH

б) L – линейное пространство

в) L замкнуто относительно нормы ||||

т.е. Ортогональное дополнение – это всегда замкнутое линейное множество

Утв: 1) (M^)^M

2) Если M подпространство линейное и замкнутое, то(M^)^=M

3. Если М линейное, но незамкнутое, то (M^)^=M

4. M, (M^)^ - замыкание линейной оболочки Н

Теорема: Рисса

Любой линейный ограниченный функционал Гильбертова пространства может быть записан в видеW=(u,v) и единственен

Неравенство Коши-Буняковского

Опр: v(t)=K(t,s) – называется Ядром оператора.

Теорема: 1 Пусть А – интегральный оператор с ядром K(t,s), тогда

1. Если KC([a,b]x[a,b]), то А ограничен, как оператор действующий изC([a,b]) вC([a,b]) причем||A||_C<max_t,s |K(t,s)|(b-a) (1)

2. Если KL₂ на множестве[a,b]², то оператор действует ограниченным образом изL₂([a,b]) вL₂([a,b]), причем||A||_L2<=||K||_L2([a,b])²

Теорема: 2 R^(A)=N(A^*) – ортогональное дополнение множества значений = множеству нулей сопряженного оператора.

Замечание: из R^(A)=N(A^*) => N(A^*)=(R^(A) )^=

Опр: Отображение F(u)называется сжимающим, если существуетq(0,1) : ||F(u₂)-F(u₁)||<q||u₂-u₁|| u₁,u₂

Теорема: Принцип сжимающих отображений.

Пусть F – сжимающее отображение, тогда

1. Уравнение u=F(u) имеет единственное решение

2. Его можно найти методом последовательных приближений, т.е. (u₀), u₁=F(u₀), u₂=F(u₁)…u_k+1=F(u_k) => - сходимость по норме.

3. Погрешность решения оценивается ||u_k+1-u||<||u_k+1-u_k||

Интегральные уравнения

 - спектральный параметр

Теорема: 1 Пусть ||<||A||^-1 => уравнениеu=Au+f (1) имеет единственное решение (f), в частности:

1. Если ||<( max_t,s |K(t,s)|(b-a)^-1, то (1) однозначно разрешимо в классеC([a,b]) (fC([a,b])

2. Если ||<, то(1) – однозначно разрешимо в классеL₂([a,b]) (fL₂([a,b])

u(t)=- интегральное уравнение Фредгольма II - рода

Теорема: 2 Пусть ядроK(t,s) непрерывно в треугольнике{t[a,b], s[t,s]}, тогда уравнениеu(t)=однозначно разрешимо в классеC([a,b]) (fC([a,b]) 

||(I-A)^-1||<- уравнение ВольтерраII рода

Следствие:

1. Уравнение Вольтерра не имеет характеристических чисел т.е. уравнение разрешимо всегда

2. Для уравнения Вольтерра независимо от оператора А работает метод последовательных приближений.

Теорема: 1) Оператор А действующий в Гильбертовом пространстве, конечномерен тогда и только тогда, когда он имеет вид: (1)A=, т.е. Аu=

2) при этом (2)A^*=

3) Представление 1 всегда можно выбрать так, чтоr=rang(A), тогда каждый из наборов{_k}, {_k}

линейно независимы.

Замечание: из теоремы следует в L₂ каждый конечномерный оператор является интегральным с ядром К_А (t,s)=

Теорема: Пусть последовательность {A_n} – компактные операторы и||A_n-A||0, тогда А – тоже компактный оператор.

Замечание: 1 Любой конечномерный оператор обязательно компактен, т.к. в конечно мерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно относительно любой нормы.

2) Согласно теореме предел по норме последовательности конечномерных операторов будет компактен т.е. замыкание по операторной норме конечномерных операторов содержится в подпространстве компактных, на самом деле они совпадают.

Теорема: Комактный оператор, действующий в сепарабельном Гильбертовом пространстве всегда можно представить, как предел по операторной норме последовательности конечномерных.

Замечание: Сепарабельность можно было не требовать, Гильбертовость не нужна.

Теорема: 4. Пусть A – интегральный оператор вL₂([a,b]) с ядромK(t,s)L₂([a,b]²), тогдаA – компактен вL₂([a,b]). Любой интегральный оператор с квадратным суммируемым ядром является компактным.

Замечание: 1Не любой интегральный оператор вL₂ является компактом

2) Требование KL₂ избыточно.