4. Описание функций, полученных в рамках теории детерминированного хаоса.

Во всех вышеперечисленных экспериментах, в которых наблюдался хаос и различные виды перехода к нему, присутствовала возможность проведения достаточного числа наблюдений как при плавно изменяющихся, различных значениях внешних управляющих параметров, так и при одних и тех же. При работе же с финансовыми рынками такая возможность, естественно, полностью исключена. Можно выявить достаточно полный набор критериев, оказывающих в данный момент влияние на некоторый финансовый инструмент, и разработать общее правило, согласно которому из этих критериев будут формироваться внешние параметры. Но из-за постоянного, хаотичного изменения критериев, а соответственно и управляющих параметров, для получения результатов, наглядно доказывающих, что действительно данная система является хаотической, при переходе к хаосу наблюдаются следующие явления и систему с достаточной точностью можно описать следующей моделью, требуется значительное время наблюдения. И тут возникает следующее серьезное осложнение: модель, описывающая поведение цен на финансовых рынках, может претерпеть сильное изменение даже за очень короткий промежуток времени.

Для всех функций подразумевается, что y [0, 1]. Т.о. в общем случае необходимо предварительное преобразование данных.

Функции, полученные на основе (9):

В общем случае можно представить как

- y_n+1= f(y_n, x, a``) = y<sub>n</sub>* f<sub>1</sub>(x, a``) - y_n² * f₂(x, a``), (16)

где f₁(x, a``) и f<sub>2</sub>(x, a``) везде положительны.

Область значений y_n+1ограничена интервалом:

[0, max{f₁(x, a``)}/min{ f<sub>2</sub>(x, a``) }], если max{f₁(x, a``)}/min{ f<sub>2</sub>(x, a``) }<1, в противном случае правая граница равна [0, 1].

В качестве функций f(x, a``) предложены следующие:

_m

- f(x, a``) = ((a``_i * x_i))^v, (17)

ⁱ⁼¹

где v - некоторая четная, целочисленная, большая нуля константа;

_m

- f(x, a``) = c<sub>1</sub> / (c<sub>2</sub>+ ((a``_i * x_i))^v), (18)

ⁱ⁼¹

где v, с₁, c₂- некоторые константы, v - четная, целочисленная и большая нуля, с₁>0, c₂>0;

_m

- f(x, a``) = c<sub>1</sub> / (LN(c<sub>2</sub>+ ((a``_i * x_i))^v)) + c₃), (19)

ⁱ⁼¹

где v, с₁, c₂, c₃- некоторые константы, v - четная, положительная и целочисленная, с₁>0, c₂>=1, c₃>0;

_m

- f(x, a``) = c / [1 + EXP(-(a``_i * x_i))], (20)

ⁱ⁼¹

где с - некоторая константа, большая нуля.

Функции, полученные на основе (11):

В общем случае можно представить как

- y_n+1= f(y_n, x, a``) = f<sub>1</sub>(x, a``) + y_n* f₂(x, a``) + y<sub>n</sub><sup>2</sup>* f<sub>3</sub>(x, a``), (21)

где область значений f₂(x, a``) и f<sub>3</sub>(x, a``) положительна.

Левая граница области значений y_n+1равна min{f₁(x, a``)}, если min{f<sub>1</sub>(x, a``)>0, и 0 в обратном случае; правая граница равна max{f₁(x, a``)}+max{f<sub>2</sub>(x, a``)}+max{f₃(x, a``)}, если max{f<sub>1</sub>(x, a``)}+max{f₂(x, a``)}+max{f<sub>3</sub>(x, a``)}<1 и 1 в обратном случае.

Здесь для реализации f₂(x, a``) и f<sub>3</sub>(x, a``) предложены функции (17)-(20), а для реализации f₁(x, a``):

_{m m}

- f(x, a``) = [EXP((a``_i * x_i)) - с₁] / [EXP((a``_i * x_i)) + с₂], (22)

^{i=1 i=1}

где с₁и c₂- некоторые константы, большие нуля;

_m

- f(x, a``) = COS((a``_i * x_i)), (23)

ⁱ⁼¹

_m

- f(x, a``) = SIN((a``_i * x_i)). (24)

ⁱ⁼¹

Функции, полученные на основе (15):

В общем случае можно представить как

- y_n+1= f(y_n, x, a``) = f<sub>1</sub>(x, a``) - y_n* f₂(x, a``) + y<sub>n-1</sub>* f<sub>3</sub>(x, a``), (25)

где область значений f₁(x, a``) и f<sub>2</sub>(x, a``) положительна, а |f₃(x, a``)| < 1.

Левая граница области значений y_n+1равна min{f₁(x, a``)} - max{ f<sub>2</sub>(x, a``) }, если min{f₁(x, a``)} - max{ f<sub>2</sub>(x, a``) } > 0, и 0 в противном случае; правая граница равна max{f₁(x, a``)} + max{ f<sub>3</sub>(x, a``) }, если max{f₁(x, a``)} + max{ f<sub>3</sub>(x, a``) } < 1 и 1 в противном случае.

Здесь для реализации f₁(x, a``) и f<sub>2</sub>(x, a``) предложены функции (17)-(20), а для реализации f₃(x, a``) - (22) при c₁=c₂=1.

В любом случае, кроме всех перечисленных требований к функциям f₁(x, a``), f<sub>2</sub>(x, a``) и f₃(x, a``), они должны быть определены таким образом, чтобы область значений f(y<sub>n</sub>, x, a``) охватывала все возможные для данной выборки значения y.